2019年高考数学一轮复习：直线与方程

2019年高考数学一轮复习：直线与方程直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A，B两点的距离：数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为d(A，B)＝|AB|＝___________________．②线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝，y＝.2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴____________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k＝______(α≠______)．当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的____________叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的____________叫做直线l在y轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式：名称方程适用范围点斜式①k存在斜截式②k存在两点式③④截距式⑤a≠0且b≠0一般式⑥平面直角坐标系内的所有直线注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例．(3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________；②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________；③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________；④若x1≠x2，且y1＝y2＝0，直线即为x轴，方程为____________．自查自纠1．(1)|x2－x1|(2)①()x2－x12＋()y2－y12②x1＋x22y1＋y222．(1)正向平行重合0°≤α180°(2)正切值tanα90°＝90°(3)y2－y1x2－x13．(1)横坐标a纵坐标b不是(2)①y－y0＝k(x－x0)②y＝kx＋b③y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1④x1≠x2且y1≠y2⑤xa＋yb＝1⑥Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)点斜式两点式(3)①x＝x1②y＝y1③x＝0④y＝0直线3x＋3y－2＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解：直线3x＋3y－2＝0的斜率k＝－33，倾斜角为5π6.故选D.若直线ax＋by＋c＝0，经过第一、二、三象限，则()A．ab0且bc0B．ab0且bc0C．ab0且bc0D．ab0且bc0解：显然b≠0，所以y＝－abx－cb，因为直线过一、二、三象限，所以－ab0，－cb0，所以ab0且bc0.故选C.已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A．4x－3y－3＝0B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0D．4x－3y－4＝0解：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为12，则tanα＝12，所以直线l的斜率k＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－122＝43，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝43(x－1)，即4x－3y－4＝0.故选D.斜率为2的直线经过A(3，5)，B(a，7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为__________和__________．解：由已知得kAB＝7－5a－3＝2，解得a＝4；kAC＝b－5－1－3＝2，解得b＝－3.故填4；－3.直线x＋a2y－a＝0(a0)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值为________．解：方程可化为xa＋y1a＝1，因为a0，所以截距之和t＝a＋1a≥2，当且仅当a＝1a，即a＝1时取等号，故a的值为1.故填1.类型一直线的倾斜角和斜率(1)设直线2x＋my＝1的倾斜角为α，若m∈(－∞，－23)∪[2，＋∞)，则角α的取值范围是________．解：据题意知tanα＝－2m，因为m－23或m≥2.所以0tanα33或－1≤tanα0.所以α∈0，π6∪3π4，π.故填0，π6∪3π4，π.(2)直线l过点M(－1，2)且与以点P(－2，－3)、Q(4，0)为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是________．解：如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.kMP＝5，kMQ＝－25.当直线l从MP开始绕M逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k≥5，当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，因为正切函数在π2，π上仍为增函数，所以斜率从－∞开始增加，增大到kMQ＝－25，故直线l的斜率范围是－∞，－25∪[5，＋∞)．故填－∞，－25∪[5，＋∞)．【点拨】(1)直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k＝tanα联系．(2)在使用过两点的直线的斜率公式k＝y2－y1x2－x1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x＝x1.(3)已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤：①求出斜率k的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90°)；②利用正切函数的单调性，借助正切函数的图象或单位圆确定倾斜角的取值范围．(4)直线的斜率与倾斜角的关系：①当α∈0，π2且由0增大到π2α≠π2时，k由0增大到＋∞；②当α∈π2，π且由π2α≠π2增大到π(α≠π)时，k由－∞增大并趋近于0(k≠0)．已知两点A(－1，2)，B(m，3)，求：(1)求直线AB的斜率；(2)已知实数m∈－33－1，3－1，求直线AB的倾斜角α的范围．解：(1)当m＝－1时，直线AB的斜率不存在；当m≠－1时，k＝1m＋1.(2)①当m＝－1时，α＝π2；②当m≠－1时，因为k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪33，＋∞，所以α∈π6，π2∪π2，2π3.综合①②知直线AB的倾斜角α的范围为π6，2π3.类型二求直线方程根据所给条件求直线的方程．(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sinα＝1010(α∈[0，π))，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线的方程为y＝±13(x＋4)，即x±3y＋4＝0.(2)若截距不为0，设直线的方程为xa＋ya＝1，因为直线过点(－3，4)，所以－3a＋4a＝1，解得a＝1.此时直线方程为x＋y－1＝0.若截距为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－3，4)，有4＝－3k，解得k＝－43，此时直线方程为4x＋3y＝0.综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得||10－5k1＋k2＝5，解得k＝34.此时直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.【点拨】本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．(1)求过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)设直线的斜率为k，则k＝－4×13＝－43，又直线经过点A(1，3)，故所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不经过原点时，设直线方程为x2a＋ya＝1(a≠0)，将点A(－5，2)代入方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线经过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.综上可知，所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.类型三直线方程的应用(1)已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．解：设点A1(x1，y1)与A(4，－1)关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，所以|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.所以|PA|＋|PB|＝|PA1|＋|PB|≥|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|.当P点运动到P0点时，|PA|＋|PB|取到最小值|A1B|.因为点A，A1关于直线l对称，所以由对称的充要条件知，y1＋1x1－4×1＝－1，x1＋42－y1－12－1＝0，解得x1＝0，y1＝3，即A1(0，3)．所以(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝82＋（－1）2＝65.故填65.【点拨】平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．(2)直线l过点P(1，4)，且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点．①当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程；②若|PA|·|PB|最小，求l的方程．解：①依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k0)．令y＝0，可得A1－4k，0；令x＝0，可得B(0，4－k)．|OA|＋|OB|＝1－4k＋(4－k)＝5－k＋4k＝5＋－k＋4－k≥5＋4＝9.所以当且仅当－k＝4－k且k0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0.②|PA|·|PB|＝4k2＋16·1＋k2＝41－k＋（－k）≥8(k0)，当且仅当1－k＝－k且k0，即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．这时l的方程为x＋y－5＝0.【点拨】直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．过点P(2，1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，求：(1)△AOB面积的最小值及此时直