行列式习题

[自测题Ⅰ]一.填空题。1．若,0ijnaD则ijaD。2．已知,1111203zyx则1142612324zyxx。3．行列式0650300404302003。4．行列式199421022130113。5．方程02781941321111132xxx的全部根是。二．选择题。1．下列各项中，（）是4阶行列式的一项。（A）42341321aaaa；（B）42332111aaaa；（C）44131231aaaa；（D）41322114aaaa。2．5阶行列式的展开式中共有（）项。（A）25；（B）5！；（C）10；（D）15。3．行列式600300301395200199204200103（）。（A）1000（B）-1000（C）2000（D）-20004.设,30303211naaaD,00212naaaD其中021naaa，则（）。（A）21DD；（B）2131DnD；（C）213DDn；（D）213DDn。5．齐次线性方程组0302022321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足的条件是（）。（A）0（B）2（C）1（D）1三．计算题。1．设,2161256427362516911116543D计算44434241AAAA。2．已知,11000100011zyxzyx求zyx,,。3．计算,001001001111210naaaaD).0(21naaa4．问取何值时，线性方程组02221332132131xxxxxxxx有唯一解。四．综合题。1．证明2yxxzzyqpprrqbaaccb.zyxrqpcba2．设nnxcxcxccxf2210)(，若)(xf有1n个不同的零点，证明)(xf是零多项式。3．计算n阶行列式nnnnnnnbababababababababaD111111111212221212111。[自测题Ⅱ]一．填空题。1．已知函数xxxxxxf12112)(，其中含有3x的项是。2．行列式1110110110110111。3．方程0321132240ttt的实根是。4．设行列式2235007022220403D，则44434241DDDD。5．若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足。二．选择题。1．设,0000000321aaaD其中321,,aaa不全为零，那么D是（）行列式。（A）对角形；（B）上三角形；（C）下三角形；（D）以上都对。2．行列式abbbabbba（）。（A）3)(ba；（B）2))(2(baba；（C）2))(2(baba；（D）2))(2(baba。3．若,0333231232221131211maaaaaaaaaD则3332313123222121131211111254254254aaaaaaaaaaaaD（）。（A）m40；（B）m40；（C）m8；（D）m20。4．设,347534453542333322212223212)(xxxxxxxxxxxxxxxxxf则方程0)(xf的根的个数为（）。（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。5．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式（）。（A）必为0；（B）必不为0；（C）必为1；（D）可取任何值。三．计算题。1．设fdddfcccfbbbfaaaD3213213223214，求第一列各元素的代数余子式之和41312111AAAA。2．计算行列式3322111100110011001bbbbbbD的值。3．计算行列式2001000000200000200100D的值。4．给定线性方程组332123211321222222xxxxxxxxxxxx，当取何值时，方程组有非零解？四．综合题。1．设,,为互不相等的实数，证明0111333的充要条件是0。2．已知1632，2160，3696，5024都可被16整除。不经计算，证明4205696306122361可被16整除。3．已知22ba，证明方程组111111211221112221nnnnnnnnaxbxaxbxaxbxbxaxbxaxbxax有唯一解，并求其解。[答案与提示][自测题Ⅰ]一．填空题。1．0；2。1；3。2；4。25；5。1，2，3二．选择题。1．A；2。B；3。C；4。C；5。D。三．计算题。1．0444342414424432342224121AAAAAaAaAaAa。2．将左边行列式按最后一行展开得：10011010001yxyxzyxz=110101xxyxyzxz=1222xyz则0222zyx所以0zyx。3．行列式的第1i列乘以)1(1iai加到第1列上去，得原式=nniinniiaaaaaaaaaa21102110)1(0000000001111。4．2且5。四．综合题。1．由行列式性质易证。2．设)1,,2,1(niaxi时，0)(xf。则有.0,0,0111022101110nnnnnnnnacaccacaccacacc把上述方程看成以nccc,,,10为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式恰为范德蒙德行列式，因)1,,2,1(niai各不相同，故0D，方程组仅有零解010nccc，即0)(xf。3．原式=00100100121naaa00000011121nbbb,0),)((1212bbaa22nn。[自测题Ⅱ]一．填空题。1．32x；2。-3；3。6；4。-28；5。1。二．选择题。1．D；2。C；3。C；4。B；5。A。三．计算题。1．（1）当0f时，显然)4,3,2,1(01iAi，所以041312111AAAA。（2）当0f时，第4列元素与第1列对应元素的代数余子式乘积之和等于零，有041312111fAfAfAfA，即0)(41312111AAAAf，所以041312111AAAA。2．将此行列式的第1行加到第2行，再将第2行加到第3行，然后将第3行加到第4行得11000100010001321bbb3．按任一行（列）展开，值为2001！。4．1或5。四．综合题。1．展开行列式))()()((111333，因,,互不相等，故,,不为零，从而行列式为零的充要条件是0。2．参见第三部分典型例题中的例4。3．由第三部分典型例题中的例10，方程组的系数行列式的值0)(22nba，所以方程组有唯一解。由第1个方程和第n2个方程有112121nnaxbxbxax解得baxbaxn1121，同理由第2个方程和第12n个方程，由第3个方程和第22n个方程，如此类推到由第n个方程和第1n个方程可解得baxxbaxxnnn1,,11122。所以该方程组有唯一解)2,,1,,,2,1(1nnnibaxi