平差模型与最小二乘准则

第四章最小二乘准则4-1、测量平差的数学模型模型：对客观事物的高度概括。分类：1)形象模型：航模、建筑模型等；2)抽象模型：地图、等式、不等式、数学模型等。平差中的数学模型：函数模型：观测值与观测值之间，或者观测值与未知参数之间的一种数学表达式；随机模型：观测值之间可能有的随机相关性。是随机性的，即经验上的一种近似关系。一、函数模型同一个平差问题，建立不同的函数模型，就有不同的平差方式。经典平差中的四种函数模型：二、随机模型：带约束的间接平差带参数的条件平差、条件平差间接平差0~~~0~~0~~~XXFLXLFLFXFL12020PDL三、高斯－马尔柯夫（G-M）平差模型Gauss用上述模型证明了最小二乘法将得到参数的最佳估值；Markov用上述模型证明了最小二乘估值的方差最小性。数学模型。）模型，即经典平差的－以上为（随机模型：函数模型：MGPQDLDEXALL120200~~4-2参数估计与测量平差一、数理统计问题总体（母体〕X：所研究的随机变量可能取值的全体。个体：组成总体的每一个基本单位。样本x：从母体中随机取出的n个个体构成一个样本。子样容量（大小）：构成子样的个体数目n。抽样：获得子样的过程。统计量：由子样构成的函数，不含未知数。1、常用统计量：2、常用数理统计方法（1）参数估计（2）统计假设检验（3）回归分析（4）方差分析2122121)(11ˆ)(11xxnxxnSxnxniiniinii－子样无偏方差：子样方差：子样均值：无限推断母体构成统计量有限获得子样限个抽样数理统计问题：通过有nnxxxn,,213、对抽样的要求a、代表性：要求子样的各个分量与母体同分布。即b、独立性：要求互独立。二、参数估计问题参数估计包括：a、点估计（定值估计）－－按某种准则，求出参数的一个具体估值。b、区间估计－－以一定的概率，求出参数的某一取值范围。XDxDXExEiiixix三、测量平差的实质是参数估计（1）求最或是值－－即是求E(X)的估值。（2）精度评定－－即是求D(X)的估值。XXEn~，时•4-3估计值的最优性质点估计的几种方法：矩法、最大似然法、最小二乘法、中位数法、截尾法用不同的点估计方法对同样的母体进行参数估计，会产生不同的估值。最优估值标准：（1）无偏性（2）一致性（3）有效性最优估计应具有性质：估计量能在参数真值附近摆动，随着子样容量的增大，摆幅越来越小，n为时，依概率收敛于。一、无偏性的无偏估计。是则称的估值，若满足：是参数真值设ˆˆˆE的无偏估计？否是母体方差是估计？子样方差是否是母体均值的无偏问：22xDsxˆˆ结论数理统计中平差中性质2122121)(11ˆ)(11xxnxxnsxnxniiniinii1ˆ22nVVnVVsnLx（使用）无偏（不使用）有偏无偏2222ˆEsEaxE•二、一致性n无限增大时估计量依概率收敛于。ˆ为子样容量。为概率，＋或或，有即对任意小的正数nPPPPnnn1ˆlim0ˆlim1ˆlim补充：严格一致性满足严格一致性的估值一定满足一致性。例：证明子样均值是母体期望的一致性估值。的严格一致性估计。为真值则称满足：若估值ˆ0ˆˆlimˆlimˆˆ2EEDEnn三、有效性有效。较则认为估值若的无偏估计均为及定义：设212121ˆˆˆˆˆˆDD还应有“有效性”要求故仅满足无偏不够均无偏，不唯一如：中axEaxEaxEi的方差最小，最有效。可见或而：中xxDnxDxDi22222最小方差性：致性。是最优估值。即满足有效性又满足一小方差），则该估计量（最，使若有一无偏估计量2minˆˆD•4-４最小二乘准则一、最小二乘法设有误差方程：在满足约束：下，对参数进行估计。二、最大似然法lxAVˆmin2222112nniivvvv2,~iiiLENL设观测值：有似然函数：设为子样联合分布的密度函数221222121122111nnnnnLLnnDLELELELLL＝PVVDLELDLELDGTLLnLLTLLn2exp2121exp21202121212最大似然法基本思想：最大似然法：必须知道母体的分布最小二乘法：可不知母体的分布当观测值服从正态分布时，二者等价。为最或然值。，即此时最接近其真值达到最大时，参数估值数最大，所以，当似然函误差联合出现的概率由偶然误差特性知，小xxxGˆ~ˆminminminmax11PVVVDVLELDLELGTLLTLLT或即要求－例：不一定是无偏的。并。所以，最大似然估值可近似看成很大时，当不是无偏的，只有估值，而期望及方差的最大似然分别是母体与子样方差从结果看，子样均值解得：的估值。、最大似然法求参数试用抽得互独立子样已知22222222212ˆ1ˆ1ˆ,,,,~ssnssxaxnsxnxaaxxxaNXiin