圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用刘定勇（安徽省宁国中学，242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.文[1]给出了两个较为简洁的结论：命题1椭圆12222byax，点00,yxP对应的极线12020byyaxx.双曲线12222byax，点00,yxP对应的极线12020byyaxx.抛物线pxy22，点00,yxP对应的极线000pxyypx.命题2圆锥曲线中极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性.以上结论在文[2]中有证明.如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12:22yxC的两焦点为12,FF,点00,yxP满足2200012xy,则|1PF|+2PF|的取值范围为_______，直线1200yyxx与椭圆C的公共点个数_____.P在椭圆内P在椭圆外解析：第一个问题，依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为22,2.第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为00,yxP在椭圆12:22yxC的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线1200yyxx并不经过00,yxP.还有学生看到1200yyxx这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点.事实上，1200yyxx是00,yxP对应的极线，00,yxP在椭圆12:22yxC的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.题2、（2010重庆文21）已知以原点O为中心，(5,0)F为右焦点的双曲线C的离心率52e.（Ⅰ）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)Mxy的直线1l：1144xxyy与过点22(,)Nxy（其中21xx）的直线2l：2244xxyy的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OHOG的值.解析：（I）C的标准方程为.1422yxC的渐近线方程为.21xy（II）如图，直线44:11`yyxxl和44:122yyxxl上显然是椭圆4422yx的两条切线，由题意点),(EEyxE在直线44:11`yyxxl和44:122yyxxl上，MN即是由E点生成的椭圆的极线.因此直线MN的方程为.44yyxxEEMN的方程求出后剩下工作属常规计算.设G、H分别是直线MN与渐近线02yx及02yx的交点，由方程组,02,4402,44yxyyxxyxyyxxEEEE及解得.2224,22,24EENEENEECEECyxyyxxyxyyxx故44222222EEEEEEEEOGOGxyxyxyxy.41222EEyx因为点E在双曲线.44,142222EEyxyx有上所以22123.4EEOGOHxy分析：如果是常规方法求直线MN的方程，只能是观察：由题意点),(EEyxE在直线44:11`yyxxl和44:122yyxxl上，因此有EEExxyyxx211,44442Eyy故点M、N均在直线44yyxxEE上，因此直线MN的方程为.44yyxxEE应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.题3、（2010江苏18）、在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T（mt,）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M),(11yx、),(22yxN，其中m0,0,021yy.（Ⅰ）设动点P满足422PBPF,求点P的轨迹；（Ⅱ）设31,221xx，求点T的坐标；（Ⅲ）设9t,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很简单，略.（Ⅲ）我们先看看常规做法：点T的坐标为(9,)m直线)3(12:xmyTA，与椭圆联立得)8040,80)80(3(222mmmM直线)3(6:xmyTB，与椭圆联立得)2020,20)20(3(222mmmN当12xx时，直线MN方程为：22222222220)20(380)80(320)20(3202080402020mmmmmmxmmmmmmy令0y，解得：1x.此时必过点D（1，0）；当12xx时，直线MN方程为：1x，与x轴交点为D（1，0）.所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）.分析：怎么样？目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.如果知道点T的坐标为m,9，事实上T的轨迹是9x，可以看成是一条极线：15091yx，所以它一定过定点D（1，0）.题4、已知椭圆C的离心率3e2，长轴的左右端点分别为1A2,0，2A2,0。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线xmy1与椭圆C交于P、Q两点，直线1AP与2AQ交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（Ⅰ）设椭圆C的方程为2222xy1ab0ab。…………………1分∵a2，c3ea2，∴c3，222bac1。………………4分∴椭圆C的方程为222xy14。………………………………………5分（Ⅱ）取m0,得33P1,,Q1,22，直线1AP的方程是33yx,63直线2AQ的方程是3yx3,2交点为1S4,3.…………7分,若33P1,,Q1,22，由对称性可知交点为2S4,3.若点S在同一条直线上，则直线只能为:x4。…………………8分以下证明对于任意的m,直线1AP与直线2AQ的交点S均在直线:x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4y2my30，记1122Px,y,Qx,y，则1212222m3yy,yym4m4。…………9分设1AP与交于点00S(4,y),由011yy,42x2得1016yy.x2设2AQ与交于点00S(4,y),由022yy,42x2得2022yy.x2………101200126y2yyyx2x21221126ymy12ymy3x2x21212124myy6yyx2x2221212m12mm4m40x2x2，……12分∴00yy，即0S与0S重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。13分解法二：（Ⅱ）取m0,得33P1,,Q1,22，直线1AP的方程是33yx,63直线2AQ的方程是3yx3,2交点为1S4,3.…………………………………………7分取m1,得83P,,Q0,155，直线1AP的方程是11yx,63直线2AQ的方程是1yx1,2交点为2S4,1.∴若交点S在同一条直线上，则直线只能为:x4。……………8分以下证明对于任意的m,直线1AP与直线2AQ的交点S均在直线:x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4y2my30，记1122Px,y,Qx,y，则1212222m3yy,yym4m4。………………9分1AP的方程是11yyx2,x22AQ的方程是22yyx2,x2消去y,得1212yyx2x2x2x2…①以下用分析法证明x4时，①式恒成立。要证明①式恒成立，只需证明12126y2y,x2x2即证12213ymy1ymy3,即证12122myy3yy.………………②∵1212226m6m2myy3yy0,m4m4∴②式恒成立。这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。解法三：（Ⅱ）由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4y2my30。记1122Px,y,Qx,y，则1212222m3yy,yym4m4。……………6分1AP的方程是11yyx2,x22AQ的方程是22yyx2,x2……7分由1122yyx2,x2yyx2,x2得1212yyx2x2,x2x2…………………9分即21122112yx2yx2x2yx2yx221122112ymy3ymy12ymy3ymy11221212myy3yy23yy112211232m2m3yym4m424.2m3yym4………………………………12分这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。………………13分2006高考全国卷（21）（本小题满分为14分）已知抛物线24xy的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且(0).AFFB过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明.FMAB为定值；（II）设ABM的面积为S，写出()Sf的表达式，并求S的最小值。（21）（本小题满分13分）设，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线yx上运动，点Q满足BQQAuuuruur，经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QMMPuuuruuur,求点P的轨迹方程。（20）（本小题满分13分）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab上，00cos,sin,0.2xayb直线2l与直线00122:1xylxyab垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线2l的倾斜角为.（I）证明:点P是椭圆22221xyab与直线1l的唯一交点；（II）证明:tan,tan,tan构成等比数列。我们知道，各省市专家在命制有关圆锥曲线高考题时，一定会站在一个比较高的位置出发，比较新颖的角度来考虑.而往往他们能够一眼看穿的结论、一招制敌的办法却不为高中同学所熟知.所以，如果我们能够了解一些圆锥曲线的极点极线知识，可以帮助我们快速知道结论，从而指明解题的方向.参考文献：1王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法[J].中学数学教学，2006（6）2梅向明，刘增贤，林向岩.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1983