线性代数笔记(自写)

全笔记分为四章，（1）矩阵(一般理论)（2）行列式（3）特征值与特征向量(第二第三章是引入研究矩阵更多工具)（4）特殊矩阵前方的引言，貌似是高能部分，其实是为了帮助，亲们理解问题，故有必要读一下。from中南大学材料院耗时;半月真名;略笔名;学渣渣的基因。引言；8线性代数(linearalgebra)是研究有限维线性空间里的代数的学科；线性空间，又被称为向量空间，矢量空间。（我最喜欢的称呼是不易被具体化理解的矢量空间，所以接下来，我都会把线性空间称为矢量空间）要理解最开始一句话，我们需要定义两个东西，（1）“线性空间”（2）“代数”先给出（2）的定义；（2）代数；代数是研究数，数量，关系与结构的数学分支。初等代数一般在中学中教授：研究当我们对数字做加法和乘法会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字及其运算，矩阵及其运算……还包括经过将这些具体的对象及其运算抽象化而得到的各种抽象化的结构。在这里我们只关心各种运算关系及其性质，而忽略对于“具体的对象，譬如，数，矩阵，本身是什么”这样的问题。补充；常见的代数结构有群，环，域，模，矢量空间等。（有兴趣的童鞋可以去看《抽象代数》）要定义矢量空间，我还必须先给出“矢量”的一般空间的抽象化定义，如下（无需理解）；映射；称为点的一个矢量（vector）,若对有；（a）(线性性)；（b）(莱布尼兹律)其中代表函数在点的值，亦可记作显而易见，这里矢量被定义为一个映射，输入的元素取自，为流形（manifold）上所有的光滑函数，为实数集合。我不打算解释这个定义，一旦我解释了，又得去解释许多其它的概念，所以只会只谈谈直观上的理解，并阐述矢量与向量的关系（当然有的书是混用两个概念的）在物理里面，我们经常用矢量去定义物理量，由于牛顿力学建立的数学基础是三维欧式空间，所以我们把矢量放在三维欧式空间下，赋予坐标表示，就成为具体的向量，由此矢量在三维欧式空间里有了几何直观，我们可以用表示它。好哒，我们已经有了矢量，现在可以来定义矢量空间（值得一提的是，很多地方直接简便的把矢量定义为矢量空间的元素，它会符合矢量空间公理化定义的七个条件，这也是可取并相对简便的，并且两个定义之间并不矛盾）(1)矢量空间；实数域上的一个矢量空间（vectorspace）是一个集合配以两个映射，即（叫加法（addition））及（叫数乘（scalermultiplication）,满足如下条件；(a)(b)(c)零元，使(d)(e)(f)(g)初看这个定义你一定看的觉得很熟悉，又很陌生。因为你感觉这些性质很是自然。感觉熟悉的原因是，你如果直接把看成三维欧式空间的向量集合，在配备普通的加法与数乘，你会发现它满足这七条。事实上，矢量空间的公理化定义就是从具体的对象，譬如向量所满足的性质中来定义的。现在你也可以把同型矩阵当做矢量空间的元素，定义合适的加法与数乘，而后构成矢量空间……好哒，总算说完了“线性代数”是指什么那么现在开始线性代数的学习提前预警；线性代数研究的代数是向量，而我们将重点研究的并非向量，而是向量之间转化的变换，即矩阵，物理学上喜欢用变换来定义物理量（无论是有限维矢量空间的变换（矩阵），还是无限维矢量空间的变换（算子）），用它们来定义物理量的优点是在各种坐标系下具有形式的不变性（此即为张量的定义，矩阵是（0,2）型张量）。那么我们也将从矩阵开始。这里的空余部分，给出一个基本的代数结构——群的定义定义1.0若集合且在上的二元运算构成的代数结构满足；（1）封闭性；（2）结合律；（3）存在单位元（4）存在逆元；，称为的逆元练习1.1；证明构成一个群，其中单位元为0练习1.2；证明构成一个群，其中单位元为1（一）矩阵（matrix）本笔记非特殊说明，用到的都是实矩阵，即矩阵的元素都是实数。定义1.1；形式为叫做矩阵，简记为，被称为矩阵的元素，若记为中列向量，（其中为transform（转置）首字母）为中行向量，则,其中，如果每个元素都为0，则称为零矩阵，简记为0，如果，那么称为阶矩阵，此时主对角线元素之和被称为矩阵的迹（trace）定义1.2；以一个例子定义矩阵加法（仅限于同型矩阵）与数乘；定义1.3；=右乘乘法定义如下其中为数乘，最终结果为一个列向量，其中被称为对列向量的线性组合。例如；以定义1.3推广矩阵更一般的矩阵形式的乘法如下；定义1.4；=右乘乘法如下；结果的特点是，,在1.3中已经被定义，故能被很好的定义。至此，矩阵的乘法已被很好的定义，但我们定义的角度显然是以为中心，中列向量的作用被看做对中列向量的线性组合。如果我们以矩阵为中心呢？这也是也是可取的，此时中的行向量被看做对中的行向量进行线性组合。我们也可以既不以为中心，又不以为中心，而单单给出中元素关于中元素的表达式，也即为中与中的内积。现在以一例说明矩阵乘法的这三种计算方法，请认真仔细阅读，并做到熟练运用。补充；第四种方法；，即的列与相应的的对应的行，而后求和；矩阵相乘亦可分块进行计算；分块的依据在于使矩阵里分块矩阵之间的乘法合理性质1证明1；我无法想象连结合律都不满足的代数，会有多糟糕。我假定矩阵不会是这样的代数，所以矩阵运算满足结合律，得证。实际的证明，求和号过多，故略去。性质2证明，据，易证。练习1.3举例说明，并由此说明我们已经有了矩阵，以及它们之间乘法的定义，现在如果我们想构造一个代数结构——群，必须定义矩阵的逆，但首先得知道矩阵乘法的单位元，假定单位元为，单位元的存在，要求都有定义，由存在，令为型矩阵，为型矩阵，又存在，得,则为型矩阵，又，得，故为方阵，亦为方阵，且同为n阶方阵。由此矩阵的逆，只有方阵才可能有。定义1.5；是阶方阵，如果存在矩阵，使得,那么称可逆，称为的逆，记为性质1;均可逆，则证明；略性质2；可逆，则证明;将用到（不难证明此式），证毕。接下来我会联系矩阵与方程组，试图先找出矩阵可逆的必要条件。令列向量,则矩阵可化为形式即原方程组好的，现在我们左右同时左乘初等矩阵（以后会定义）以化简第一步无疑想把第二行换成矩阵的第二行减去第一行的3倍，称为（(行)，(列)）如下；我们定义矩阵每一行第一个非零元为主元（），显然加减化简的倍数，由主元之间的倍数决定。据左乘初等矩阵，方程组的解并不改变，我们觉得可以进一步简化，直接对矩阵进行初等行变换；（注意，连接变换的是箭头，两个矩阵不相等）还没有结束，我们对矩阵进行的初等变换都未改变原方程组的解，显然方程组的解为;，关于方程组的解法后面会详细论述。定义1.6以下三种被定义为矩阵的初等行变换（不改变方程组的解）；（1）对调两行（2）以数乘某行所有元素（3）把一行所有元素的倍加到令一行对应的元素上去以上三种变换对应于两端左乘以下三类初等矩阵（以三阶初等矩阵举例）。（1）对调一二行；（2）第一行乘以倍；（3）第二行的倍加到第一行上练习1.4试不通过计算分解矩阵，并由此计算补充；知道初等变换矩阵后，我们可以进行分解，其中代表下三角矩阵(),代表上三角矩阵（）举例；分解过程中会用到初等变换矩阵，在此称为消元矩阵（）表示使第行，第列处的元素为0的消元矩阵对于三阶矩阵，有（没有行变换）（试说明确为下三角矩阵）实际上写出并不需要求出消元矩阵的逆矩阵再相乘，有如下结论；在消元过程中消元系数（乘某行的倍数再减去另一行,中的倍数）可直接写入中对应的位置。例如；对，，左乘的消元矩阵，消元倍数为4，故在分解，中相应位置写有倍数4.如果一开始的形式不合适，那么我们就需要先对中的行进行置换，此时会用的初等矩阵里的（(置换矩阵)），此时分解的形式为，另外，置换矩阵有一个特别的性质其实关于分解，我还想补充例子，说明其用途，在此做个记号，以后再补。现在我们来求上述=的逆矩阵，但首先得尝试判断是否存在显然有非零解假设存在，两端同左乘，得，造成矛盾，故不存在，得出的逆矩阵存在的必要条件为只有零解，进而有下面重要性质；性质；方阵的逆矩阵存在的充分必要条件为只有零解必要性；已证充分性；待证；定义；设是维列向量组，若存在一组常数，使得；向量组的线性组合,只在时才成立，则称列向量组线性无关。若将排在一起构成型矩阵，且令则。所以，向量组线性无关只有零解。值得一提的是，低维数空间，线性相关性有很直观的几何理解，在二维平面内，若两个向量线性相关，则它们必共线，并且二维平面内任意三个向量必线性相关（假设开始给出的两个向量不线性相关，将它们作为基向量，则第三个向量必可由前两个向量的线性组合所表示，，即同时我们定义一个向量组，其最大线性无关组的个数，称为该向量组的维数，比如上面提到的，其最大维数为。现在介绍求逆矩阵的高斯若当尔消元法（计算机亦采用此种方法），引例；已知=求上面部分很类似我们求的做法，左右同乘初等矩阵进行变换，其实它们实质相同。消元法就是对上述过程的进一步简化，直接取进行初等变换，当左边变换成单位矩阵时，右边即变换为练习1.5证明当进行初等变换为形式时，。练习1.6证明可逆矩阵必可分解为一系列初等矩阵的乘积。有关矩阵转置补充几个性质；练习1.7，定义的矩阵为对称矩阵，使说明始终为对称矩阵。为了理解下一节对于方程的求解，现在引入相应的空间的概念，类似于矢量空间，空间内的元素必须对于其里面的运算具有封闭性，由空间又可以衍生子空间的概念，子空间里的元素都属于它的母空间，且对于运算也封闭，比如对于中的所有向量，过原点的平面上的所有向量构成一个子空间，更一般的，单独的零向量也构成的子空间。简言之，空间就是一个集合，配备了运算（加法与数乘），且对于运算具有封闭性。定义矩阵的（列空间）为以的列向量的任意线性组合为元素的空间类似的矩阵的（行空间）为以中行向量的任意线性组合为元素的空间而的零空间（零空间）为以满足中的为元素所组成的空间。的左零空间是指但我们只会着重用到列空间，零空间以解方程组，之所以如此，是因为我们解方程组时所进行的都是行变换。我们亦可以进行列变换，解方程组对进行行变换。练习1.8，证明的解构成一个空间定义1.7，矩阵的秩（）为一个数字，它等于矩阵通过初等变换后矩阵主元的个数。例如；最后的第一行1与第二行2（每行的首项非零元为主元），并且含有主元的列被称为主列，不含主元的列被称为自由列。不妨求解上面给出矩阵的解；进一步简化，将主元上元素全部化为0，主元自身化为1现在有两种方法做下去方法1，统一取自由列--------第二列，第四列对应的为,此时解出,,此时解出,则，方程组的通解方法2；，写回方程组形式（将自由列对应的变量视为自变量，并补全四个方程）；此时可将视为常数，视为常数，可得两种方法得到的结果一致。当然这给出的是标准的方法，你可能喜欢先设其它元素为其它值，再解出方程但请记住这两种标准方法。这两种方法的特点是能够推广，解决一堆问题，计算机能够实现，并利用计算机解决大量实际问题。你自己给出的方法很可能只能用来做一道题目，显然没什么意思。并且，你如果想老师在改卷的话，不会判错你的答案，请按照标准方法做。显然无论的形式，在求解的最后我们就能发现此方程组是否可解，以及解的结构，但直接根据来判断解的结构，我们还未尝试，故现在开始讨论。性质1；可解在里（能被中列向量的线性组合所表示）性质2；，解的形式为,其中表示满足的特解（,表示零空间（）中的元素。的求法已经介绍过，即把进行初等变换。练习1.9，试证明确为的解。练习1.10，试证明，若是的解，则也是的解性质3；有非零解秩证明；想象一下主元的个数与解的结构的关系，即可得证。练习1.11，试说明，如果秩，，那么的基础解系含有个向量。性质4；有解,表示矩阵的秩（）,表被定义为。证明；有解在的列空间内张成相同的列空间，有相同的基础解系，从而主元个数相同，秩相同。下面是一个很重要的性质，联系列空间与零空间。首先定义一个空间的维数为；张成()此空间（任意基向量的线性组合）所需的一组基向量中向量的个数。（基的定义要求向量组线性无关）首先得证明定义的合理性，神马意思？我们得说明在空间中选取任意一组基向量中向量的个数相同，不然对于给定空间的维数可能不是定数。证明；练习