内蒙古包头市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析

第1页（共21页）2015-2016学年内蒙古包头市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（）A．﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜B．﹛x|﹣5＜x＜5﹜C．﹛x|﹣3＜x＜5﹜D．﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜2．设a，b，c∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（）A．ad﹣bc=0B．ac﹣bd=0C．ac+bd=0D．ad+bc=03．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.24．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3B．4C．5D．85．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．3D．46．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2xB．y=±xC．y=±xD．y=±x7．（x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1B．C．1D．28．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）第2页（共21页）A．﹣1B．C．D．29．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60°的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（）A．8πB．4πC．3πD．2π11．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，若抛物线的准线与x轴的交点为P，则△PAB的面积为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若对x∈R都有|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣2，0]C．[﹣2，1]D．（﹣∞，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线I与α内的一条直线平行，则I∥α③设α∩β=I，若α内有一条直线垂直于I，则α⊥β④直线I⊥α的充要条件是I与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是．14．正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．第3页（共21页）15．已知二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，且其图象的顶点恰好在函数y=log2x的图象上．函数f（x）在x∈[0，2]上的值域是．16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn，n∈N*．（1）求a1a2，并求数列{an}的通项公式，（2）求数列{nan}的前n项和Tn．18．空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度0～3535～7575～115115～150150～250＞250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类型优良轻度污染中度污染重度污染严重污染甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）（Ⅱ）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（Ⅲ）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．第4页（共21页）（1）证明PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值．20．已知动点M（x，y）到直线ι：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求点A的坐标．21．已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．请考生在第22，23，24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．[选修4-4；极坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正非负半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，圆的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线l被圆截得的弦长；第5页（共21页）（Ⅱ）从极点作圆C的弦，求各弦中点的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．第6页（共21页）2015-2016学年内蒙古包头市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合M=﹛x|﹣3＜x≤5﹜，N=﹛x|x＜﹣5或x＞5﹜，则M∪N=（）A．﹛x|x＜﹣5或x＞﹣3﹜B．﹛x|﹣5＜x＜5﹜C．﹛x|﹣3＜x＜5﹜D．﹛x|x＜﹣3或x＞5﹜【考点】并集及其运算．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：在数轴上画出集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣3}．故选A2．设a，b，c∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（）A．ad﹣bc=0B．ac﹣bd=0C．ac+bd=0D．ad+bc=0【考点】复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】本题考查的是复数的充要条件．注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数⇔b=0【解答】解：a，b，c∈R，复数（a+bi）（c+di）=（ac﹣bd）+（ad+bc）i为实数，∴ad+bc=0，故选D．3．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ=2，得对称轴是x=2．P（ξ＜4）=0.8∴P（ξ≥4）=P（ξ≤0）=0.2，∴P（0＜ξ＜4）=0.6∴P（0＜ξ＜2）=0.3．故选C．第7页（共21页）4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3B．4C．5D．8【考点】循环结构．【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：x1248y1234当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．故选B．5．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．3D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，截距最小，此时z最大，从而求出z=2x﹣y的最大值．【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数变形为y=3x﹣z，作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（2，1）时，直线的纵截距最小，此时z最大，第8页（共21页）最大值为4﹣1=3故选C6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选D．7．（x+）5（x∈R）展开式中x3的系数为10，则实数a等于（）A．﹣1B．C．1D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，列出方程求出a的值．【解答】解：∵Tr+1=C5r•x5﹣r•（）r=arC5rx5﹣2r，又令5﹣2r=3得r=1，第9页（共21页）∴由题设知C51•a1=10⇒a=2．故选D．8．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1B．C．D．2【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；平面向量数量积的运算．【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知：=2，=∴=2•=2||2=2×12=2．故选：D．9．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】偶函数；其他不等式的解法．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60°的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（）第10页（共21页）A．8πB．4πC．3πD．2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意可知，该几何体的内切球的球心即为该几何体的中心，进而可求此几何体的内切球的半径，即可得到此几何体的内切球表面积．【解答】解：由于此几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60°的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的内切球的球心即为该几何体的中心，即是正方形的中心．由此几何体三视图可知，几何体每个面的三边长分别为，设此几何体的内切球的半径为r，则由体积相等得到：=解得r=，则此几何体的内切球表面积为故答案为C．11．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，若抛物线的准线与x轴的交点