大学数学课件线性代数2

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量事件发生的可能性越大，概率就越大！1.2随机事件的概率事件发生的可能性最大是百分之百，此时概率为1.0≤P(A)≤1我们用P(A)表示事件A发生的概率，则事件发生的可能性最小是零，此时概率为0.例如，了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.如试验:掷硬币试验掷骰子试验1.2.1概率的统计定义1.事件的频率频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非常接近的.因此，概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似.考虑在相同条件下进行的S轮试验.第二轮试验试验次数n2事件A出现m2次第S轮试验试验次数ns事件A出现ms次试验次数n1事件A出现m1次第一轮试验事件A在各轮试验中频率形成一个数列我们来说明频率稳定性的含义.………,11nm,22nmssnm,…指的是：当各轮试验次数n1,n2,…,ns充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们与某个平均值相差甚微.11nmssnm22nm频率稳定在概率p附近频率稳定性这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路.出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，这种确定概率的方法称为频率方法.在实际中，当概率不易求统计概率称此概率为2.概率的统计定义例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.记左图所示正方形的面积为，其中的四分之一圆围成的区域为A.现向区域随机投点n次，由几何方法可计算得利用频率和概率的关系，当n充分大时，441)()()(22rrAAPArnmAP)(于是nm4法国科学家蒲丰于1777年发现了随机投针的概率与圆周率π之间的关系，提供了早期学者们用随机试验求π值的范例.对于较大的n，n次试验中事件A的频率，一般与事件A的概率P相差不大，试验次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见.概率是频率稳定性的依据，是随机事件规律的一个体现.我们介绍了频率和概率的关系.给出了频率稳定性的含义以及确定概率的频率方法.实际中，当概率不易求出时，人们常通过作大量试验，用事件出现的频率去近似概率.它的理论依据我们将在第3章介绍.在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础.数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.1.2.2概率的公理化定义即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义.1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.概率的公理化定义公理2P(S)=1(2)公理3若事件A1,A2,…两两互不相容，则有(3)这里事件个数可以是有限或无限的.)()()(2121APAPAAP公理10P(A)1(1)设E是随机试验，S是它的样本空间，对于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下述三条公理:公理2P(S)=1(2)公理3若事件A1,A2,…两两互不相容，则有(3)这里事件个数可以是有限或无限的.)()()(2121APAPAAP公理10P(A)1(1)公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；公理2说明，必然事件的概率为1；公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质.下面我们就来给出概率的一些简单性质.在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图.文氏图ＡS设边长为1个单位的正方形的面积表示样本空间S其中封闭曲线围成的一切点的集合表示事件A把图形的面积理解为相应事件的概率S因为AAS互斥与AA1=P(S)=P(A)+P()AＡＡAS性质1.1对任一事件A，有(4))(1)(APAP性质1.1在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算，再计算P(A).)(APA)(1)(APAP性质1.1对任一事件A，有(4))(1)(APAP例1将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？令事件A={至少出一次“6”点}A发生{出1次“6”点}{出2次“6”点}{出3次“6”点}{出4次“6”点}直接计算A的概率较麻烦,我们先来计算A的对立事件A={4次抛掷中都未出“6”点}的概率.)(1)(APAP于是=0.5181296625因此==0.482)(AP6666由于将一颗骰子抛掷4次,共有=1296种等可能结果,5555A而导致事件={4次抛掷中都未出“6”点}的结果数有=625种例2有r个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.rrPAP)365()(365rrPAPAP)365(1)(1)(365A为求P(A),先求P()解：令A={至少有两人同生日}={r个人的生日都不同}A则用上面的公式可以计算此事出现的概率为=1-0.524=0.476)(AP美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪.计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：表3.1人数至少有两人同生日的概率200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.性质1.2(5)0)(PSA即不可能事件的概率为0.令SAA,再利用性质1及公理2即得.S))(()(ABAPBP0)(ABP移项得(6),便得(7).再由)(ABA)()(ABPAP由可加性性质1.3设Ａ、B是两个事件，若,则有(6))()()(APBPABP)()(APBPBA(7)BAS)()())(()(ABBPAPABBAPBAPBAB又因再由性质1.3便得(8).)(ABBA性质1.4对任意两个事件A、B，有)()()()(ABPBPAPBAP(8)ABAB事件互斥时的加法公式事件相容时的加法公式)()()(BPAPBAP)()()()(ABPBPAPBAPABAABB三个事件和的概率为推广到多个事件P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)n个事件和的概率为njijiniiniiAAPAPAP111)()()(nkjikjiAAAP1)()()1(211nnAAAP……它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.小结:概率的公理化定义由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质.它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.1.2.3古典概型假定某个试验有有限个可能的结果假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.e1,e2,…，eN,常常把这样的试验结果称为“等可能的”.e1,e2,…，eN试验结果你认为哪个结果出现的可能性大？我们用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.称这样一类随机试验为古典概型.34791086152且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.S={1,2,…,10},则该试验的样本空间如i=2称这种试验为有穷等可能随机试验或古典概型.定义1若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同.二、古典概型中事件概率的计算记A={摸到2号球}P(A)=?P(A)=1/10记B={摸到红球}P(B)=?P(B)=6/10223479108615132456这里实际上是从“比例”转化为“概率”记B={摸到红球}P(B)=6/10静态动态当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.23479108615这样就把求概率问题转化为计数问题.定义2设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.A包含的样本点数P(A)＝k/n＝S中的样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具.基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的1.加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm种方法.则完成这件事共有种不同的方法.mnnn212.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，1、排列:从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：k=n时称全排列!))((nnnnpPnnn1221排列、组合的几个简单公式)!(!)())((knnknnnnpkn121从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)的不同排列总数为：knnnn例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法!)!(!!kknnkPCknkn2、组合:从n个不同元素取k个（1kn)的不同组合总数为：knC常记作kn，称为组合系数。!kCPknkn古典概率计算举例例1把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：CISNCEE问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？拼成英文单词SCIENCE的情况数为故该结果出现的概率为：这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.42200079.012601!74p解：七个字母的排列总数为7！这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.例2设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.这是一种无放回抽样.解：令B={恰有k件次品}P(B)=？nNknMNkMBP)(次品正品……