线性代数4.3相似矩阵与矩阵对角化-彭丽华

第三节相似矩阵与矩阵对角化第四章二、相似矩阵与相似变换的性质四、小结一、相似矩阵与相似变换的概念三、利用相似变换将方阵对角化一、相似矩阵与相似变换的概念1,APAPA对进行运算称为对进行相似变换11,,,,ABnPPAPBBAAB定义设都是阶矩阵若存在可逆矩阵使则称是的相似矩阵或说矩阵与相似..PAB可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵1,,,.nAPPAPAA对阶方阵若可找到可逆矩阵使为对角阵即与对角阵相似，则称方阵可对角化1.矩阵的相似是一种等价关系，具有性质：11112123..PAAPPAPPAP二、相似矩阵与相似变换的性质2.,det()det();ABAB与相似则.本身相似与AA.,相似与则相似与若ABBA.,,相似与则相似与相似与若CACBBA反身性)1()2(对称性传递性)3(PAPkPAPkPAkAkP21211122111.4.,21是任意常数其中kk115.,,,;ABABAB若与相似且可逆则也可逆且与相似1APBP11111110nnnnaPBPaPBPaPBPaPEPAk1110()nnnnfAaAaAaAaE1()PfBP1kPBP则PPB1PPB1PPB1PPB1k个7.,.kkABABk若与相似则与相似为正整数8.,(),()().ABfxfAfB若与相似而是一多项式则与相似6.,,;ABkAkBk与相似则与相似为常数11110nnnnPaBaBaBaEP1,,ABPPAPB若与相似则存在可逆矩阵使1,,PPAP特别地若可逆矩阵使为对角矩阵1,kkAPP则1()()fAPfP有对于对角矩阵,,21knkkk12()()(),()nffff利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.()fA1APP证明相似与BA11EBPEPPAP1PEAP1PEAPEABAPPP1,使得可逆阵,,.nABABAB定理若阶矩阵与相似则与的特征多项式相同从而与的特征值亦相同注意：该定理的逆定理并不成立，即具有相同特征多项式（或特征值）的两个矩阵并不一定相似.但有相同特征值的两个矩阵若它们都可对角化，则它们相似.11100101AB例特征多项式相同21EAEBEEE与单位阵相似的矩阵只能是单位阵kEkE与纯量矩阵相似的矩阵只能是纯量矩阵但推论若阶方阵A与对角阵nn21.,,,,21个特征值的即是则相似nAn20010022020,31100,.AxByxy例．已知矩阵与相似则021,,,.nAPPAPAA对阶方阵若可找到可逆矩阵使为对角阵即与对角阵相似，则称方阵可对角化证明,,1为对角阵使假设存在可逆阵APPP.,,,21npppPP用其列向量表示为把三、利用相似变换将方阵对角化().nAAAn定理阶矩阵与对角矩阵相似即可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量:nnnppppppA212121,,,,,,即.,,,2211nnpppnnApApAppppA,,,,,,2121.,,2,1nipApiii于是有,,1PAPAPP得由.,,,2211nnppp.,的特征向量的对应于特征值就是的列向量而的特征值是可见iiiApPA.,,,,21线性无关所以可逆又由于npppP命题得证.,,,,.AnnnPAPP反之若有个线性无关的特征向量并对应有个特征值这个特征向量即可构成矩阵使如果阶矩阵的个特征值互不相同，则与对角阵相似．推论nAAn如果的特征方程有重根，但如果能找到个线性无关的特征向量,还是能对角化．AnAAA注意：推论的逆命题并不成立，即与对角阵相似，的n个特征值不一定互不相等.().iinAAAkk定理阶矩阵与对角矩阵相似即可对角化的充分必要条件是的特征方程任意重根对应恰好有个线性无关的特征向量163053064A设A能否对角化？若能对角,,P则求出可逆矩阵化例2.1为对角阵使APP解460350361EA212.2,1321的全部特征值为所以A1210EAx当时解方程组解之得基础解系,0121.1002360360360EA1200000003220,EAx当时解方程组得方程组的基础解系.1,1,13T.,,321线性无关由于所以可对角化.A123201,,101011P令1100010002PAP则有注意,,,213P若令111012100.1APP则有000000211即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．P100460350,.361AA设求例3解123201,,101,011P令1100010002PAP则有1100010,002APP故1001100100010.002APP从而例4231122ABAAEB已知阶方阵的特征值为，，，设，问矩阵能否相似对角化？２．相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之相似的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵．APP1P四、小结１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系.