中南大学线性代数-5.1-5.2-二次型及其标准形

第一节二次型及其标准形第五章二、二次型的表示方法一、二次型及其标准形的概念三、化二次型为标准形一、二次型及其标准形的概念nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222,,,称为二次型.121,,,nnxxx定义含有个变量的二次齐次多项式;,称为是复数时当faij复二次型.,称为是实数时当faij实二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykykf称为二次型的标准形（或法式）．若标准形的系数只取1，-1或0，即22222121pprfzzzzz称为二次型的规范形．1．用和号表示nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222,,,对二次型,aaijji取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij则于是nnxxaxxaxaf1121122111nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa二、二次型的表示方法nnxxaxxaxaf1121122111nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa)(22221212nnxaxaxax)(12121111nnxaxaxax)(2211nnnnnnxaxaxax111njjjaxx221njjjaxx1nnjnjjaxx11nnijijijaxx,1nijijijjiijaxxaa或记为nnxxaxxaxaf1121122111nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa)(22221212nnxaxaxax)(12121111nnxaxaxax)(2211nnnnnnxaxaxaxnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),,,(2．用矩阵表示.,为对称矩阵其中则二次型可记作AAxxfT,,21212222111211nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,,,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．;的矩阵叫做二次型对称矩阵fA;的二次型叫做对称矩阵Af.的秩的秩叫做二次型对称矩阵fA解,a,a,a321332211,aa22112,aa03113.aa33223.330322021A.64323221232221的矩阵写出二次型xxxxxxxf例１11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy设三、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．(),ijCCc记若为可逆矩阵，记作则上述可逆线性变换可CyxAxxfT有将其代入,AxxfT.yACCyTTCyACyT则TTTACCB.RBRA所以CACTTTCACBB故也为对称矩阵.C且为可逆矩阵,,,C,,CABnCACBBAAACA定义设都是阶矩阵若存在可逆矩阵使则称合同于对进行运算称为对进行合同变换.矩阵的合同是一种等价关系，具有性质：反身性)1()2(对称性传递性)3(.AA与本身合同,.ABBA若与合同则与合同,,.ABBCAC若与合同与合同则与合同TBCAC令，A其中为对称矩阵，C矩阵可逆TBCAC又，说明2221122TTnnyCACykykyky就是要使变成标准形经可逆变换要使二次型,2Cyxf.,),,,(212121yyykkkyyynnn.成为对角矩阵也就是要使ACCT;,,1ACCBAfCyx.T变为的矩阵由但其秩不变后二次型经可逆变换有型把此结论应用于二次即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩,.,,,1APPAPPPAT化为标准形使正交变换总有任给二次型定理fPyxaaxxafjiijnjijiij,,21,,2222211nnyyyf.,,,21的特征值的矩阵是其中ijnaAf,1,,nijijijjiijfxAxaxxaaxCzfCz推论:任给二次型总有可逆线性变换使为规范形.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤1.,;TfxAxA将二次型表成矩阵形式求出;,,,.221nA的所有特征值求出12124.,,,,,,,nnC将正交化后的特征向量单位化得记22115.,.nnxCyffyy作正交变换则得的标准形3.0iiEAxA对于每个特征值:由，求出的属于特征值的线性无关的特征向量,再将其正交化解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值144241422217A172221442414EA9182.,844141417323121232221化成标准形通过正交变换将二次型Pyxxxxxxxxxxf例2从而得特征值.18,9321990,EAx1当时解方程组得基础解系2.求特征向量2318180,EAx当时解方程组得基础解系,)0,1,2(2T.)1,0,2(3T.)1,1,21(1T22取2333222,,,即得正交向量组.)1,54,52(3T,)0,1,2(2T11,(12,1,1)T对于实对称阵不同特征值的特征向量正交，23,将正交化：,3,2,1,iiii令得正交矩阵,051522,3232311.455454452313252452315445230545P3．将正交向量组单位化于是所求正交变换为11223313252452315445230545xyxyxy.18189232221yyyf且有解例3.222222,434232413121化为标准形把二次型求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx二次型的矩阵为,0111101111011110A它的特征多项式为111111111111EA111111111111EA1111111111111111110122(1)021200012121212321(23)(3)112343,1A于是的特征值为,11111得基础解系.1111211p单位化即得2341,()0,EAx当时解方程组234111100,,010001得基础解系3,(3)0,EAx1当时解方程组234将,,正交化：22取2333222,,,单位化即得21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf且有342444232233,,,,1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，进行配方，使得配方后的项中不再含有这个变量，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过这样的非退化线性变换，就得到标准形;ixixkkjijjiiyxyyxyyxjiknk,,,2,1且拉格朗日配方法，步骤如下：2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换0ija),(ji化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.化二次型为标准形，若不限于正交变换，则可用解32312123222162252xxxxxxxxxf.,62252323121232221并求所用的变换矩阵为标准形化二次型xxxxxxxxxf例131212122xxxxx322322652xxxx的项配方含有x1含有平方项2321xxx322322652xxxx3223222xxxx去掉配方后多出来的项322322232144xxxxxxx.22322321xxxxx3332232112xyxxyxxxy令3332232112yxyyxyyyx321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf.2221yy所用变换矩阵为111012,10001CC11221233,xyyxyyxy令解,622323121xxxxxxf代入221213232248.fyyyyyy得.,622323121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型xxxxxxf例2由于所给二次型中无平方项，所以yyyxxx321321100011011即再配方，得.622223232231yyyyyf113223332zyyzyyzy令113223332yzzyzzyz.622232221zzzf得zzzyyy321321100210101即所用变换矩阵为100210101100011011C11311100120C说明：用不同的可逆线性变换把同一个二次型化为标准形时，二次型的标准形不是唯一的，但规范性是唯一的.五、小结,,TTfxAxxCyfABCAC二次型经可逆变换后其秩不变但的矩阵由变为与之合同的矩阵1.二次型及其标准形的概念3.二次型化为标准形的方法：2.二次型的矩阵、二次型的秩、矩阵合同拉格朗日配