【优质】2019南京盐城二模-数学--Word版含答案

2019届高三年级第二次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合A＝{x|1x3}，B＝{x|2x4}，则A∪B＝________．2.若复数z满足za＋2i＝i(i为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a的值为________．3.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．(第3题)(第4题)4.如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________．5.现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________．6.在等差数列{an}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为________．7.在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y2＝4x与双曲线x24－y2b2＝1(b0)的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________．8.若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，0φπ)的图象经过点(π6，2)，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f(π4)的值为________．9.已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为2，则该正四棱锥的表面积为________．10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)f(x)的解集为________．11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若在圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．12.已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(PB→＋PC→)·AD→＝42.若AD＝2，则PB→·PC→的值为________．13.已知函数f(x)＝|x＋3|，x≤0，x3－12x＋3，x0.设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是________．14.在△ABC中，若sinC＝2cosAcosB，则cos2A＋cos2B的最大值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)设向量a＝(cosα，λsinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中λ0，0αβπ2，且a＋b与a－b互相垂直．(1)求实数λ的值；(2)若a·b＝45，且tanβ＝2，求tanα的值．16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：(1)DE∥平面ACC1A1；(2)AE⊥平面BCC1B1.17.(本小题满分14分)某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈(0，π3)．问：对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q(m，0)．①若对任意直线l总存在点Q，使得QA＝QB，求实数m的取值范围；②设F为椭圆C的左焦点，若点Q为△FAB的外心，求实数m的值．19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝lnx－2x－2x－1＋2a，a0.(1)当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围．20.(本小题满分16分)已知数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2…an)2＝an＋11an－1n＋1.(1)若a1，2a2，3a3成等差数列，求a2a1的值；(2)①求证：数列{an}为等比数列；②若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求数列{an}的公比q的取值范围．2019届高三年级第二次模拟考试(十)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝2ba3，B＝110－1，AB＝2141.(1)求a，b的值；(2)求A的逆矩阵A－1.B.[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t，y＝3t＋2(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，P是曲线C上的任意一点．求点P到直线l的距离的最大值．C.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)解不等式：|2x－1|－x≥2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.(本小题满分10分)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点．(1)求甲经过点C的概率；(2)设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．23.(本小题满分10分)平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.(1)若n＝3，求T的最小值；(2)若n≥4，求证：T≥2C3n.2019届高三年级第二次模拟考试(南京、盐城)数学参考答案1.{x|1x4}2.－23.184.165.356.－47.y＝±233x8.39.4＋4310.(－2，3)11.±2112.213.－9，1314.2＋1215.(1)由a＋b与a－b互相垂直，可得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以cos2α＋λ2sin2α－1＝0.(2分)又因为sin2α＋cos2α＝1，所以(λ2－1)sin2α＝0.(4分)因为0απ2，所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0.又因为λ0，所以λ＝1.(6分)(2)由(1)知a＝(cosα，sinα)．由a·b＝45，得cosαcosβ＋sinαsinβ＝45，即cos(α－β)＝45.(8分)因为0αβπ2，所以－π2α－β0，所以sin(α－β)＝－1－cos2（α－β）＝－35.(10分)所以tan(α－β)＝sin（α－β）cos（α－β）＝－34，(12分)因此tanα＝tan(α－β＋β)＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12.(14分)16.(1)连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形．又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点．(2分)在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE∥A1C.又因为平面ACC1A1，A1平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1.(6分)(2)由(1)知DE∥A1C，因为A1C⊥BC1，所以BC1⊥DE.(8分)又因为BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.又因为平面ADE，所以AE⊥BC1.(10分)在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，所以AE⊥BC.(12分)因为AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，BC1，平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1.(14分)17.过点O作OH垂直于AB，垂足为H.在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，所以AH＝20cosα，因此AB＝2AH＝40cosα.(4分)由图可知，点P处的观众离点O最远．(5分)在三角形OAP中，由余弦定理可知OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cosα＋2π3(7分)＝400＋(40cosα)2－2×20×40cosα·(－12cosα－32sinα)＝400(6cos2α＋23sinαcosα＋1)＝400(3cos2α＋3sin2α＋4)＝8003sin2α＋π3＋1600.(10分)因为α∈0，π3，所以当2α＝π6，即α＝π12时，(OP2)max＝8003＋1600，即OPmax＝203＋20.(12分)因为203＋2060，所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．(13分)故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．(14分)18.(1)依题意得ca＝22，a＝2，解得c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2分)(2)解法一：设直线的方程为y＝k(x－2)，代入椭圆C的方程，消去y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.因为直线l交椭圆C于两点，所以Δ＝(－8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)0，解得－22k22.(4分)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2.①设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝4k21＋2k2，y0＝k(x0－2)＝－2k1＋2k2.(6分)当k≠0时，因为QA＝QB，所以QM⊥l，即kQM·k＝－2k1＋2k2－04k21＋2k2－m·k＝－1.解得m＝2k21＋2k2.(8分)当k＝0时，可得m＝0，符合m＝2k21＋2k2.因此m＝2k21＋2k2.由0≤k2＝m2（1－m）12，解得0≤m12.(10分)②因为点Q为△FAB的外心，且点F(－1，0)，所以QA＝QB＝QF.由（m＋1）2＝（x－m）2＋y2，x22＋y2＝1，(12分)消去y，得x2－4mx－4m＝0，所以x1，x2也是此方程的两个根，所以x1＋x2＝4m，x1x2＝－4m.(14分)又因为x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，所以8k21＋2k2＝－8k2－21＋2k2，解得k2＝18，所以m＝2k21＋2k2＝15.(16分)解法二：①设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)．依题意x212＋y21＝1，x222＋y22＝1，两式作差，得y1－y2x1－x2×y0x0＝－12(x0≠0)．又因为y1－y2x1－x2＝kAB＝y0－0x0－2，所以y20＝－12x0(x0－2)．当x0＝0时，y0＝0，符合y20＝－12x0(x0－2)．(ⅰ)(4分)又因为QA＝QB，所以QM⊥l，所以(x0－m)(x0－2)＋(y0－0)(y0－0)＝0，即y20＝－(x0－m)(x0－2)．(ⅱ)(6分)由(ⅰ)(ⅱ)，解得x0＝2m，因此y20＝2m－2