集合知识点总结及典型例题

集合一．【课标要求】1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体三．【要点精讲】1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。2．集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；AaAbBA集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5．集合的简单性质：（1）（2）（3）（4）；（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。四．【典例解析】题型1：集合的概念(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__答案：12解析设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即所求人数为12人。例1．已知全集，集合和SC}|{AxSxx且SCSCSCSC}|{BxAxxBA且}|{BxAxxBA或并集;,,ABBAAAAA;,ABBAAA);()(BABABBABAABABA;SCSCSCSCSCSCx(15)x(10)x(15)(10)830xxx3x1512xUR{212}Mxx的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A.3个B.2个C.1个D.无穷多个答案B解析由得，则，有2个，选B.例2．集合,,若,则的值为()A.0B.1C.2D.4答案D解析∵,,∴∴,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.题型2：集合的性质例3．集合,,若,则的值为()A.0B.1C.2D.4答案D解析∵,,∴∴,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.随堂练习1.设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={x∈R︱x2+x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为（）A．{2}B．{3}C．{－3，2}D．{－2，3}2.已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（）．{21,1,2,}Nxxkk{212}Mxx31x3,1NM0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16ABa0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16AB2164aa4a0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16ABa0,2,Aa21,Ba0,1,2,4,16AB2164aa4a分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．解：由题知可解得A={y|ya2+1或ya},B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围．如图由，得∴或.即A∩B＝φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为.评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．例4．已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由解：∵；∴，即＝0，解得当时，，为A中元素；当时，当时，∴这样的实数x存在，是或。另法：∵∴，∴＝0且∴或。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，4122aa332aaa或3a23a3a23a332|aaa或32{1,3,2}Sxxx21x}0{ACSxx}0{ACSAS00且322xxx1230,1,2xxx0x112x1xSx3122x213xS1x2x}0{ACSAS00且3A322xxx213x1x2x0x24a2+1a”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。变式题：已知集合，,,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因为当时，与题意不符，所以，。题型3：集合的运算例5已知函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求实数的取值范围．解（1）A＝B＝（2）由AB＝B得AB，因此所以,所以实数的取值范围是例6．已知集合,则()A.B.C.D.答案A解析易有，选A112x}0{ACSAS00且2{,,2},{,,}AmmdmdBmmqmq0m其中AB且qBA22mqdmmqdmmqdmmqdm221q21,1qq或1q2mqmqm21q1()2xfxx22()lg[(21)]gxxaxaaa|12xxx或|1xxaxa或112aa11aa1,11,3,5,7,9,0,3,6,9,12ABNACBI1,5,73,5,71,3,91,2,3NACB1,5,7点评：该题考察了集合的交、补运算。题型4：图解法解集合问题例7．（2009年广西北海九中训练）已知集合M=，N=，则（）A．B．C．D．答案C例8．1.设全集，函数的定义域为A，集合，若恰好有2个元素，求a的取值集合。解：时，∴∴，∴∴当时，在此区间上恰有2个偶数。2、，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．（I）对任何具有性质的集合，证明：；（II）判断和的大小关系，并证明你的结论．149|22yxx123|yxyNM)}0,2(),0,3{(3,32,3R)1)(1|1lg(|)(aaxxf}1cos|{xxBBAC)(axax1|1|01|1|1a01a2axax或),()2,(aaAkxx2,1cos)(2zkkx},2|{zkkxxB1a],2[aaAC0222421aaaaa12(2)kAaaak，，，≥(12)iaikZ，，，A()SabaAbAabA，，，()TabaAbAabA，，，()ab，STmnaAaAAPPA(1)2kkn≤mn解：（I）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．因为，所以；又因为当时，时，，所以当时，．从而，集合中元素的个数最多为，即．（II）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，．例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数A()ijaa，2k0A()(12)iiaaTik，，，，aAaAaA()ijaaT，()(12)jiaaTijk，，，，，T21(1)()22kkkk(1)2kkn≤mn()abS，aAbAabA()abbT，()ab，()cd，Sacbdabcdbd()abb，()cdd，TSTm