2.3等差数列前n项和

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？探究发现等差数列的前n项和德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？赶快开动脑筋，想一想！1+2+3+……+100=？高斯的算法是：首项与末项的和：第2项与倒数第2项的和:第3项与倒数第3项的和:第50项与倒数第50项的和:于是所求的和是：101×=5050……1+100=1012+99=1013+98=10150+51=101探究发现问题：?nnan如何求等差数列的前项和SnnnaaaaaS13211221aaaaaSnnnn如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？111()[1)]nSaadand（()[(1)]nnnnSaadand)(21nnaanS1()12nnnaaS公式dnaan)1(11(1)22nnnSnad公式探究发现?nnan如何求等差数列的前项和S倒序相加法等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1公式1公式2比较两个公式的异同:公式应用知三求二例1之解:1(1)22nnnSnad公式利用a1=1()12nnnaaS公式a20=再根据nnSanda,,,1，在等差数列中,已知:,,求及.na4d20n460ns1a20a练习一根据条件，求相应等差数列{an}的Sn:①a1=5,an=95,n=10;②a1=100,d=－2,n=50;答案：①500；②2550；练习二(2004.全国文)等差数列的前项和记为.已知,.(1)求通项;(2)令,求.nans3010a5020ana242nsnn课堂小结等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.公式的推证用的是倒序相加法例1.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”的工程通知》.某市据此提出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?例2.己知一个等差数列｛an｝前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?解：由题意知得11062aa；①120202012202aaS所以120122aa；②1060d②-①，得6d14a代入①得：所以有21132nnnSandnn（）则310102110naaS例3.已知数列的前项和为,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?nannnsn212例4．己知等差数列5,4,3,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.7274解:由题意知,等差数列5,4,3,…的公差为,所以sn=[2×5+(n-1)()]==(n-)2+75727475145752nn1452155611252n补充例题.求集合的元素个数，并求这些元素的和。100,7|mNnnmmM且解：由得,1007n72147100n7352)987(14nS∴答：略M∴正整数共有14个即中共有14个元素71a9814a即：7，14，21，…，98是为首项的等差数列作业布置P46.习题2.3A组第2、3、4、6题