不定积分的应用

第四节不定积分的应用课程回顾：基本积分表(1)Ckxkdx(k是常数)(2)Cxdxx111(3)Cxdxx||ln1(4)Cedxexx(5)Caadxaxxln(6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin(8)Cxxdxtansec2(9)Cxxdxcotcsc2(10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112(12)Cxxdxxsectansec(13)Cxdxxcsccotcsc(1)Ckxkdx(k是常数)(2)Cxdxx111(3)Cxdxx||ln1(4)Cedxexx(5)Caadxaxxln(6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin(8)Cxxdxtansec2(9)Cxxdxcotcsc2(10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112(12)Cxxdxxsectansec(13)CxdxxcsccotcscCxFCuFduufxdxfdxxxf)]([)()()()]([)()]([例1)2(2cos)2(2cos2cos2xxddxxxxdx例1Cuudusincossin2xC例2)23(23121)23(23121231xdxdxxxdxx例2Cudxu||ln21121Cx|23|ln21例3duexdedxxedxxeuxxx)()(222222例3CeCexu2例1)2(2cos)2(2cos2cos2xxddxxxxdx例1)2(2cos)2(2cos2cos2xxddxxxxdxCuudusincossin2xCCuudusincossin2xC例2)23(23121)23(23121231xdxdxxxdxx例2)23(23121)23(23121231xdxdxxxdxxCudxu||ln21121Cx|23|ln21Cudxu||ln21121Cx|23|ln21例3duexdedxxedxxeuxxx)()(222222例3duexdedxxedxxeuxxx)()(222222例3duexdedxxedxxeuxxx)()(222222CeCexu2换元积分法例1xsinxcosxC例2例3x2ex2xex2exCex(x22x2)Cvdxuuvvduuvudvdxvu分部积分法：例1xdxxxxxdxdxxsinsinsincos例1xdxxxxxdxdxxsinsinsincos例1xdxxxxxdxdxxsinsinsincos例1xdxxxxxdxdxxsinsinsincos例2Cexedxexexdedxxexxxxxx例2Cexedxexexdedxxexxxxxx例2Cexedxexexdedxxexxxxxx例2Cexedxexexdedxxexxxxxx例2Cexedxexexdedxxexxxxxx例32222dxeexdexdxexxxxxxxxxxdeexdxxeex2222dxexeexxxx222例32222dxeexdexdxexxxxx例32222dxeexdexdxexxxxx例32222dxeexdexdxexxxxxxxxxxdeexdxxeex2222dxexeexxxx222xxxxxdeexdxxeex2222dxexeexxxx222不定积分的应用1.不定积分在几何上的应用2.不定积分在物理上的应用3.不定积分在经济学上的应用4.小结习题解答一、不定积分在几何中的应用案例1【曲线方程】设曲线通过点（1,2）且曲线上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。􀃀解：设所求曲线方程为y=f(x)􀃀依题意f(x)是2x的一个原函数。2x的不定积分为𝟐𝒙ⅆ𝒙=𝒙𝟐+𝑪因此必有某个常数C使𝒇𝒙=𝒙𝟐+𝒄􀃀即曲线方程为y=𝒙𝟐+𝒄􀃀曲线族中的某一条。又因为所求曲线通过点（1,2）故2=1+cc=1于是所求曲线为𝒇𝒙=𝒙𝟐+𝟏二、不定积分在物理中的应用案例2【结冰厚度】美丽的冰城常年积雪，滑冰场完全靠自然结冰,结冰的速度由ⅆ𝒚ⅆ𝒙=𝒌𝒕𝒌≥𝟎为常数确定，其中y是从结冰起到时刻t时冰的厚度.求结冰厚度y关于时间t的函数。解:根据题意􀃀结冰厚度y关于时间t的函数为𝒚=𝒌𝒕𝟏𝒛ⅆ𝒕=𝟐𝟑𝒕𝟑𝟐𝒌+𝒄（其中常数C由结冰的时间确定）如果t=0时开始结冰的厚度为0即y(0)=0代入上式得C=0􀃀y=𝟐𝟑𝒕𝟑𝟐𝒌为结冰厚度关于时间的函数案例3【电流强度】一电路中电流关于时间的变化率为ⅆⅈⅆ𝒕=𝟒𝒕−𝟎.𝟎𝟔𝒕𝟐若t=0s时i=2A.求电流i关于时间t的函数。解由ⅆⅈⅆ𝒕=𝟒𝒕−𝟎.𝟎𝟔𝒕𝟐求不定积分得ⅈ𝒕=𝟒𝒕−𝟎.𝟎𝟔𝒕𝟐ⅆ𝒕=𝟐𝒕𝟐−𝟎.𝟎𝟐𝒕𝟑+𝑪将i(0)=2代入上式􀃀得C=2。所以ⅈ𝒕=𝟐𝒕𝟐−𝟎.𝟎𝟐𝒕𝟑+𝟐案例4【质子速度】一电场中质子运动的加速度𝒂𝒕=−𝟐𝟎𝟏+𝟐𝒕𝟐−𝟐（单位：𝒎𝑺𝟐）。如果t=0s时,v=0.3m/s。求质子的运动速度函数。􀃀􀃀􀃀解由加速度和速度的关系𝑽𝒕′=𝒂𝒕，有𝑽𝒕=𝑼′𝒕ⅆ𝒕=−𝟐𝟎𝟏+𝟐𝒕−𝟐ⅆ𝒕=−𝟐𝟎𝟏+𝟐𝒕−𝟐𝟏𝟐ⅆ(𝟏+𝟐𝒕)􀃀=𝟏𝟎𝟏+𝟐𝒕−𝟏+𝒄将t=0,v=0.3代入上式,得C=-9.7􀃀所以V(t)=𝟏𝟎𝟏+𝟐𝒕−𝟏+𝟗.𝟕三、不定积分在经济学中的应用案例5【边际成本】已知某公司的边际成本函数𝑪′𝒙=𝟑𝒙𝒙𝟐+𝟏边际收益函数为𝑹′𝒙=𝟕𝟐𝒙𝒙𝟐+𝟏𝟑𝟒􀃀设固定成本是10000万元,试求此公司的成本函数和收益函数。解:因为边际成本函数为𝑪′𝒙=𝟑𝐱𝒙𝟐+𝟏􀃀􀃀所以成本函数为𝐂𝒙=𝑪′𝒙ⅆ𝒙=𝟑𝐱𝒙𝟐+𝟏dx=𝟑𝟐𝒙𝟐+𝟏𝟏𝟐ⅆ𝒙𝟐+𝟏=𝒙𝟐+𝟏𝟑𝟐+𝐂又因为固定成本是10000元，即从c(0)=10000（万元），即𝑪𝟎=𝟎𝟐+𝟏𝟑𝟐+𝑪=𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎所以c=10000-1=9999（万元）故所求成本函数为𝒄𝒙=𝒙𝟐+𝟏𝟑𝟐+𝟗𝟗𝟗𝟗(万元)因为边际收益函数为𝑹′𝒙=𝟕𝟐𝒙𝒙𝟐+𝟏𝟑𝟒所以𝑹𝒙=𝑹′𝒙ⅆ𝒙=𝟕𝟐𝒙𝒙𝟐+𝟏𝟑𝟒dx=𝟕𝟐.𝟏𝟐𝒙𝟐+𝟏𝟑𝟒d𝒙𝟐+𝟏=𝟕𝟒𝟏𝟑𝟒+𝟏𝒙𝟐+𝟏𝟑𝟒+𝟏+𝑪=𝒙𝟐+𝟏𝟕𝟒+𝑪又因为x=0时，R(0)=0可得C=-1故所求的收益函数为𝑹𝒙=𝒙𝟐+𝟏𝟕𝟒−𝟏思考题不定积分在我们的生活中有哪些实际应用？􀃀习题解答1.一物体由静止开始作直线运动经t秒后的速度为𝟑𝒕𝟐（𝒎𝒔𝟐）问经3秒后物体离开出发点的距离是多少？􀃀2.设物体以速度v=cos2t作直线运动，开始时质点的位移为𝒔𝟎求质点的运动方程。􀃀􀃀􀃀􀃀􀃀3.一曲线通过点ⅇ𝟐,𝟑且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。4.某产品的边际收益函数与边际成本函数分别为R(Q)=18(万元/吨)𝒄′(Q)=3𝑸𝟐−𝟏𝟖𝑸+𝟑𝟑万元/吨,其中Q为产量（单位：吨），𝟎≤𝑸≤𝟏𝟎，且固定成本为10万元，求当Q为多少时利润最大？