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高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组1第四章不定积分教学目的:1、理解原函数概念、不定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法(第一,第二)与分部积分法。3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点:1、不定积分的概念;2、不定积分的性质及基本公式;3、换元积分法与分部积分法。教学难点:1、换元积分法;2、分部积分法;3、三角函数有理式的积分。§41不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上可导函数F(x)的导函数为f(x)即对任一xI都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数例如因为(sinx)cosx所以sinx是cosx的原函数又如当x(1)时因为xx21)(所以x是x21的原函数提问:cosx和x21还有其它原函数吗?原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续那么在区间I上存在可导函数F(x)使对任一xI都有F(x)f(x)简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x)那么f(x)就有无限多个原函数F(x)C都是f(x)的原函数其中C是任意常数第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数则(x)F(x)C(C为某个常数)高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组2定义2在区间I上函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分记作dxxf)(其中记号称为积分号f(x)称为被积函数f(x)dx称为被积表达式x称为积分变量根据定义如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数那么F(x)C就是f(x)的不定积分即CxFdxxf)()(因而不定积分dxxf)(可以表示f(x)的任意一个原函数例1因为sinx是cosx的原函数所以Cxxdxsincos因为x是x21的原函数所以Cxdxx21例2.求函数xxf1)(的不定积分解:当x0时(lnx)x1Cxdxxln1(x0)当x0时[ln(x)]xx1)1(1Cxdxx)ln(1(x0)合并上面两式得到Cxdxx||ln1(x0)例3设曲线通过点(12)且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍求此曲线的方程解设所求的曲线方程为yf(x)按题设曲线上任一点(xy)处的切线斜率为yf(x)2x,,即f(x)是2x的一个原函数因为Cxxdx22高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组3故必有某个常数C使f(x)x2C即曲线方程为yx2C因所求曲线通过点(12)故21CC1于是所求曲线方程为yx21积分曲线函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线从不定积分的定义即可知下述关系)(])([xfdxxfdxd或dxxfdxxfd)(])([又由于F(x)是F(x)的原函数所以CxFdxxF)()(或记作CxFxdF)()(由此可见微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记号表示)是互逆的当记号与d连在一起时或者抵消或者抵消后差一个常数二、基本积分表(1)Ckxkdx(k是常数)(2)Cxdxx111(3)Cxdxx||ln1(4)Cedxexx(5)Caadxaxxln(6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin(8)Cxxdxdxxtanseccos122(9)Cxxdxdxxcotcscsin122高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组4(10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112(12)Cxxdxxsectansec(13)Cxdxxcsccotcsc(14)Cxdxxchsh(15)Cxdxxshch例4dxxdxx331CxCx21321131例5dxxdxxx252Cx1251251Cx2772Cxx372例6dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33三、不定积分的性质性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和即dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([这是因为,])([])([])()([dxxgdxxfdxxgdxxff(x)g(x).性质2求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即dxxfkdxxkf)()((k是常数k0)例7.dxxxdxxx)5()5(21252dxxdxx21255dxxdxx21255Cxx232732572例8dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323Cxxxxdxxdxxdxdxx1||ln3321113322高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组5例9xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3例10CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2例11dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1()1()1(122222Cxxdxxdxx||lnarctan1112例12dxxxxdxxxdxxx222242411)1)(1(1111dxxdxdxxdxxx222211)111(Cxxxarctan313例13dxxdxdxxdxx222sec)1(sectantanxxC例14dxxdxxdxx)cos1(212cos12sin2Cxx)sin(21例15Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组6§42换元积分法一、第一类换元法设f(u)有原函数F(u)u(x)且(x)可微那么根据复合函数微分法有dF[(x)]dF(u)F(u)duF[(x)]d(x)F[(x)](x)dx所以F[(x)](x)dxF[(x)]d(x)F(u)dudF(u)dF[(x)]因此)()]([)()]([xdxFdxxxF)()(udFduuFCxFxdF)]([)]([即)(])([)()]([)()]([xuduufxdxfdxxxf[F(u)C]u(x)F[(x)]C定理1设f(u)具有原函数u(x)可导则有换元公式CxFCuFduufxdxfdxxxf)]([)()()()]([)()]([被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而微分等式(x)dxdu可以应用到被积表达式中在求积分dxxg)(时如果函数g(x)可以化为g(x)f[(x)](x)的形式那么dxxg)()(])([)()]([xuduufdxxxf例1.dxxxxdx)2(2cos2cos2)2(2cosxxdCuudusincossin2xC例2.dxxxdxx)23(23121231)23(23121xdxCudxu||ln21121Cx|23|ln21例3.duexdedxxedxxeuxxx)()(222222CeCexu2例4.22222121)(1211dxxdxxxdxxxCuduuxdx2321223121)1(121Cx232)1(31高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组7例5.xdxdxxxxdxcoscos1cossintanCuduu||ln1ln|cosx|C即Cxxdx|cos|lntan类似地可得Cxxdx|sin|lncot熟练之后变量代换就不必再写出了例6.dxaxadxxa2222)(1111Caxaaxdaxaarctan1)(1112即dxxa221Caxaarctan1例7.Caxaaxdaxadxaxshchch例8.当a0时,dxaxadxxa222)(1111Caxaxdaxarcsin)(112即dxxa221Caxarcsin例9.dxaxaxadxax)11(21122]11[21dxaxdxaxa])(1)(1[21axdaxaxdaxaCaxaxa|]|ln||[ln21Caxaxa||ln21即dxax221Caxaxa||ln21例10.xxdxxdxxdxln21)ln21(21ln21ln)ln21(Cx|ln21|ln21高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组8例11.xdexdedxxexxx3322333Cex332含三角函数的积分例12.xdxxxdxsinsinsin23xdxcos)cos1(2xxdxdcoscoscos2Cxx3cos31cos例13.xxdxxdxxsincossincossin4252xdxxsin)sin1(sin222xdxxxsin)sinsin2(sin642Cxxx753sin71sin52sin31例14.dxxxdx22cos1cos2)2cos(21xdxdxxxddx22cos4121Cxx2sin4121例15.dxxxdx224)(coscosdxx2)]2cos1(21[dxxx)2cos2cos21(412dxxx)4cos212cos223(41Cxxx)4sin812sin23(41Cxxx4sin3212sin4183例16.dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cosCxx5sin101sin21例17.dxxxdxsin1cscdxxx2cos2sin21高等数学教案第四章不定积分高等数学课程建设组9Cxxxdxxxd|2tan|ln2tan2tan2cos2tan22ln|cscxcotx|C即xdxcscln|cscxcotx|C例18.dxxxdx)2csc(secCxx|)2cot()2csc(|lnln|secxtanx|C即xdxsecln|secxtanx|C二、第二类换元法定理2设x(t)是单调的、可导的函数并且(t)0又设f[(t)](t)具有原函数F(t)则有换元公式CxFtFdtttfdxxf)]([)()()]([)
本文标题:《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第04章-不定积分
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