广东省中山市2016年高考数学备考研究解析几何专题

近五年全国卷解析几何考点统计2011~2015年全国新课标卷I（理科数学）解析几何考点分布统计表年份客观题（选择与填空）解答题分值2011第7题双曲线方程与几何性质、直线与双曲线位置关系第14题椭圆方程、定义、性质等第20题平面向量坐标运算、动点轨迹、直线与抛物线相切、点线距离公式222012第4题椭圆离心率等几何性质第8题抛物线准线、直线与双曲线位置关系、双曲线方程及几何性质第20题圆的方程、抛物线定义、直线与抛物线位置关系、点到直线距离公式、平行直线222013第4题双曲线离心率、渐近线等性质第8题直线与椭圆相交的中点问题第20题圆的方程、圆与圆的内切、椭圆定义、直线与圆相切、点线距离公式、直线与椭圆相交及弦长222014第4题双曲线焦点到渐近线距离第10题抛物线方程与性质、向量数乘第20题椭圆方程及几何性质、直线与椭圆相交问题及三角形面积222015第5题双曲线方程及焦点坐标、平面向量数量积坐标运算第14题椭圆方程与顶点等性质、圆的标准方程第20题抛物线的切线、直线与抛物线的位置关系、相交问题的方程组及韦达定理22解析几何之解题通法与策略梳理1.方程性质与直译法2.焦点半径与定义法3.相交相切与方程法4.弦长距离与公式法5.斜率中点与点差法6.解几问题与几何法解析几何之解题通法与策略梳理1.方程性质与直译法曲线方程与几何性质，是解析几何的主线.给出曲线的方程，直接得出相关几何性质；给出相关几何性质，直接写出曲线方程，这就是解决解析几何问题时常用的直译法.例1（2014年全国卷Ⅰ.理4）已知F是双曲线C：223(0)xmymm的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m解析：双曲线C方程化为221(0)33xymm，则2233cabm，(33,0)Fm.又渐近线方程为033xym，即0xmy.所以焦点F到渐近线距离为：|330|31mmdm.选A.评析：将双曲线方程化为标准方程，由此直接写出焦点坐标与渐近线方程，再根据点线距离公式完成计算.注意由双曲线方程直接写渐近线方程的技巧，同时不能混淆双曲线中的22cab与椭圆中的22cab.2.焦点半径与定义法利用圆锥曲线的定义，常常能轻松求解圆锥曲线中有关焦半径、过焦点的弦长、与焦点相关的三角形等问题.例2（2014年全国卷Ⅰ.文10）已知抛物线C：2yx的焦点为F，00(,)Axy是C上一点，05||=4AFx，则0=xA.1B.2C.4D.8解析：由抛物线C：2yx，知21p，12p.根据抛物线定义，得00015||=++244pAFxxx，解得0=1x，选A.评析：线段AF为抛物线的一条焦半径，容易联想到利用抛物线的定义解决问题，将抛物线上的点到焦点的距离，转化为该点到准线的距离.将两点距离转化为点线距离，从而减少了计算量.3.相交相切与方程法相交、相切是解析几何中最为常见的两种位置关系，特别是直线与圆锥曲线的相交，更是热点考查内容.解决此类问题，常见的办法是联立直线与圆锥曲线的方程组，将几何问题化归为方程求解的代数问题.例3（2014年全国卷Ⅰ.理20）已知点(02)A，，椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.解析：（Ⅰ）设(,0)Fc，由题意可知，0(2)23=03AFkc，解得=3c．又32cea，所以222=2,1abac.故E的方程为：2214xy．（Ⅱ）当lx轴时，不合题意，故设:=2lykx，1122(,),(,)PxyQxy．联立方程组22=214ykxxy，消y得：22(14)16120.kxkx3.相交相切与方程法当2=16(43)0k，即234k时，21,22824341kkxk．从而2221224143141kkPQkxxk.又点O到直线PQ的距离为221dk，所以OPQ的面积为：221443=241OPQkSdPQk．设243kt，则0t，24444OPQtSttt．因为44tt，当且仅当2t，即72k时等号成立，且满足0，所以OPQ的面积最大时，l的方程为：722yx或722yx．3.相交相切与方程法例3（2014年全国卷Ⅰ.理20）已知点(02)A，，椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.评析：解答第1问时，扣住椭圆的焦点、离心率，由两点斜率公式及222cab，求出椭圆中的a与b，从而写出椭圆标准方程.这一过程，相当于联立了三个方程求解.第2问研究直线与椭圆相交时的几何最值问题，由相交而想到联立直线与椭圆方程所组成的方程组；根据几何最值的研究对象（弦与原点构成三角形的面积），想到由弦长公式求出弦长，以及由点线距离公式求高，从而得到目标函数，再进一般研究函数最大值.4.弦长距离与公式法点线距离与圆锥曲线中的弦长，是解析几何考查的热点，解决这两个问题时，分别需要利用点线距离公式与相关的弦长公式.例4（2014年全国卷II.理10）设F为抛物线C:23yx的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为A.334B.938C.6332D.94解析：由23yx知23p，则32p，3(,0)4F.所以直线AB的方程为：30tan30()4yx，即33()34yx.联立方程组233()343yxyx，消y得22190216xx.所以，弦长12213||1222ABxxp.4.弦长距离与公式法点线距离与圆锥曲线中的弦长，是解析几何考查的热点，解决这两个问题时，分别需要利用点线距离公式与相关的弦长公式.例4（2014年全国卷II.理10）设F为抛物线C:23yx的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为A.334B.938C.6332D.94解析：…又原点O到直线AB的距离为：33|00|3348113d.所以，OAB的面积为：13912284OABS.选D.评析：求抛物线过焦点的弦与原点构成三角形的面积，需要计算弦长及原点到弦的距离，从而联立直线与抛物线的方程组，由抛物线过焦点的弦长公式求弦长，由点线距离公式求三角形高，再由三角形面积公式计算面积.牢记公式并熟练运用显得特别重要.5.斜率中点与点差法直线与圆锥曲线相交时，若遇弦的中点研究，可以设两交点坐标，代入圆锥曲线方程，两式相减，通过适当的代数变形，化为与中点坐标公式及直线斜率公式关联的代数式，这是解弦的中点问题或被点平分问题常用的点差法，方法的巧妙之处就是设而不求.例5（2013年全国卷I.理10）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交椭圆于,AB两点.若AB的中点坐标为(1,1)，则E的方程为A.2214536xyB.2213627xyC.2212718xyD.221189xy解析：设1122(,),(,)AxyBxy，则：2211221xyab，2222221xyab.两式相减得22221212220xxyyab，即1212121222()()()()yyyyxxxxba.所以，2121221212()()yybxxkxxayy，从而2210(12)13(12)ba，整理得222ab.又22223cab，解218a，29b.选D.评析：点差法的步骤可以归纳为“设两点坐标—代入方程—两式相减—代数变形—结果代入”.利用点差法，计算量比联立方程组少许多.6.解几问题与几何法例6（2013年全国卷I.理20）已知圆22(1)1Mxy：，圆22(1)9Nxy：，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解析：由已知得圆M的圆心为(1,0)M，半径11r；圆N的圆心为1,0N（），半径23r．设动圆P的圆心为(,)Pxy，半径为R．（Ⅰ）∵圆P与圆M外切并且与圆N内切，∴1212()()4PMPNRrrRrr.由椭圆的定义可知，曲线C是以,MN为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为：221(2)43xyx．（Ⅱ）对于曲线C上任意一点(,)Pxy，由于1212()()2222PMPNRrrRRrrR2R（当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，2R．）∴当圆P的半径最长时，其方程为：22(2)4xy．当l的倾斜角为90时，则l与y轴重合，可得：23AB；当l的倾斜角不为90时，由1rR知：l不平行x轴．设l与x轴的交点为Q，则1QPRQMr，可求得：点Q的坐标为：(4,0)Q，∴可设l：(4)ykx，由l与圆M相切得：2311kk，解得：24k．当24k时，将224yx代入221(2)43xyx，并整理得：27880xx，解得：1,2x4627.∴221224624621811()4777ABkxx．当24k时，由图形的对称性可知：187AB．综上所述，23AB或187AB．5.斜率中点与点差法评析：动圆与两定圆相切时圆心的轨迹，是最为经典的一例轨迹问题，求此轨迹方程的最佳方法就是几何法，即将三圆的几何关系转化为与椭圆定义相关的几何关系，再根据椭圆的几何特征直接写出方程.解答第2问时，则可抓住已知条件中的相切与相交的构图，分析图形的几何特征，运用相应几何性质简化运算.从对近几年的全国高考数学卷的分析来看，解析几何大题以常规题为主，一般处在倒数第二题的位置，说明命题者也无意加大解析几何的难度.因此，解析几何复习时，知识、方法、题型三方面可以如下尝试：（1）第一轮复习应以小题与中档解答题为主，确保知识的全覆盖，灵活选用代入检验、筛选排除等方法，掌握解析几何小题的解题技巧，避免“小题大做”.这些小题以中等难度为主，主要考查方程的求解和简单几何性质的应用，每年常为一选择一填空，是多数学生可得分的部分.（2）第二轮复习以本文中归纳的六种方法类型为主要方向，采用题组的形式，进行针对性强化训练.让学生会一题，懂一类，举一反三，触类旁通.解析几何大题一般的解题模式是“由方程画曲线——结合图形审题破题——相对繁杂的数式运算——求得结果”，过好画图的基础关，突破运算关是解析几何大题的得分关键.近几年的全国课标卷I，解析几何题一律没给出图形，而画图是解题的第一关，强调学生养成读题画图的习惯，特别是遇到审题困难时.审题之后，运用所学解析几何知识，训练形成扎实的数学运算功底，稳健迈出解题各步，结合高中数学常用的数学思想方法（数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化），探索解决解题时遇到的障碍.