现代控制理论-6-1-概念--6-2-李雅普诺夫第一法(间接法)

1caetcy建模建模分析分析设计设计状态空间表达式状态反馈状态观测器最优控制可控性可观性稳定性求解建立转换现代控制理论提纲线性连续系统线性离散系统返回caetcy第六章第六章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析§1李雅普诺夫意义下的稳定性§2李雅普诺夫第一法(间接法)§3李雅普诺夫第二法(直接法)§4应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统的稳定性2caetcy第六章第六章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析§1李雅普诺夫意义下的稳定性§2李雅普诺夫第一法(间接法)§3李雅普诺夫第二法(直接法)§4应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统的稳定性caetcy控制系统原处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。扰动消失以后，偏差渐小，能恢复到原来平衡状态，则稳定。偏差渐大，不能恢复到原来平衡状态，则不稳定。控制系统的重要性质!正常工作的首要条件!系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性！一、概述一、概述稳定性是系统性能研究的首要问题3caetcy经典控制理论对稳定性描述的局限性(1)局限于描述线性定常系统；(2)局限于研究系统的外部稳定性。劳斯(Routh)判据；奈氏(Nyquist)判据；稳定性判据返回前页caetcy李雅普诺夫(Lyapunov)稳定性理论；现代控制理论对稳定性描述的特点(1)稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统；(2)研究系统外部稳定性和内部稳定性；(3)能够反映系统稳定的本质特征。稳定性判据返回前页4caetcy()()()AIBAICBAICG−−=−=−ssss*1零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的，简称BIBO稳定。系统外部稳定的充分必要条件：传递函数矩阵中所有元素的极点全部位于s左半平面。⎩⎨⎧=+=CxyBuAxx&（输出稳定）二、系统的外部稳定性二、系统的外部稳定性学过☺caetcy（系统状态的稳定性——李亚普诺夫稳定性）三、系统的内部稳定性三、系统的内部稳定性1.基本概念2.李雅普诺夫稳定性定义4.内部稳定与外部稳定的关系3.稳定的范围返回5caetcy设系统方程为：()t,xfx=&n维向量函数n维状态向量()ni,tx,,xxfxnii,,2,1,21LL&==展开式为：方程的解为：()00,;ttxx初始状态向量初始时刻()0000,;xxx=⇒tt不受外力1.基本概念caetcy()0,==teexfx&平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化。()t,xfx=&所有状态的变化速度为零，即是静止状态线性定常系统：Axx=&平衡状态0==eeAxx&0≠A0=A0=⇒ex一个平衡状态—状态空间原点无穷多个平衡状态6caetcy()()txtx&,mkμ⎪⎩⎪⎨⎧−−==21221xmxmkxxxμ&&⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21xxx选取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx&xkxxm&&&μ−−=例：机械位移系统状态方程返回返回前页平衡状态：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00exex1x2xcaetcy平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化。无穷多个平衡状态非线性系统：()t,xfx=&平衡状态()0,==teexfx&⎩⎨⎧−+=−=3221211xxxxxx&&例：⎩⎨⎧=−+=−⇒0032211xxxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10,10,00321eeexxx所有状态的变化速度为零，即是静止状态()t,xfx=&()0,==teexfx&7caetcy例：分析单摆(Pendulum)平衡状态的稳定性。解：θθ&==21,xx0sin=+θθMgML&&选取⎪⎩⎪⎨⎧−==xLgxxx1221sin&&状态方程⎪⎩⎪⎨⎧=−=⇒=xlgx0sin0120x&平衡状态：⎩⎨⎧==⇒0sin012eexx()L,,,nnπe2100±±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⇒xcaetcy例：分析单摆(Pendulum)平衡状态的稳定性。解：θθ&==21,xx0sin=+θθMgML&&选取⎪⎩⎪⎨⎧−==xLgxxx1221sin&&状态方程平衡状态：()L,,,nnπe2100±±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xex1x2xexexexexKK8caetcy平衡状态的稳定性：系统在平衡状态邻域的局部的（小范围的）动态行为。线性系统：只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。非线性系统：有多个平衡状态，且稳定性不同，需结合初始条件考虑系统的稳定性。caetcy欧式范数22221nxxxL++=x()()()2222211neneeexxxxxx−+−+−=−Lxx表示向量x到xe的距离表示向量x的长度()()cxxxxeee=−+−=−222211xx表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的圆()()()cxxxxxxeeee=−+−+−=−233222211xx2=n3=n表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的球9caetcy()()txtx&,mkμ⎪⎩⎪⎨⎧−−==21221xmxmkxxxμ&&⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21xxx选取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx&xkxxm&&&μ−−=例：机械位移系统状态方程返回返回前页平衡状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00exex0x1x2xcaetcy欧式范数当范数||x－xe||限制在某一范围之内时，可以表示为||x－xe||≤ε。且具有明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。22221nxxxL++=x()()()2222211neneeexxxxxx−+−+−=−Lxx表示向量x到xe的距离表示向量x的长度10caetcy2.李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫意义下稳定/稳定渐近稳定不稳定返回用状态向量到平衡点的范数来表示系统在n维空间运动过程中，随时间推移状态向量与平衡点之间的距离变化，存在以下三种情况：caetcy设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心，δ为半径的闭球域S(δ)内，即00tte=≤−δxx若能使系统方程的解在t→∞的过程中，始终位于以xe为球心，任意规定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即()00,;ttttet≥≤−εxxx则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下稳定。稳定返回前页11caetcy几何意义：任给一个球域S(ε)，若存在一个球域S(δ)，使得当t→∞时，从S(δ)出发的轨迹不离开S(ε)，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。ex()εS()δS0x1x2x初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡点。2=n3=n圆球返回前页caetcy几何意义：任给一个球域S(ε)，若存在一个球域S(δ)，使得当t→∞时，从S(δ)出发的轨迹不离开S(ε)，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。ex()εS()δS0x1x2x返回前页时变系统δ与t0有关定常系统δ与t0无关若δ与初始时刻t0无关，则称系统的平衡状态xe是一致稳定的。12caetcy几何意义：任给一个球域S(ε)，若存在一个球域S(δ)，使得当t→∞时，从S(δ)出发的轨迹不离开S(ε)，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。ex()εS()δS0x1x2x返回前页caetcy()εS()δS0x当系统作不衰减的振荡运动时，将描绘出一条封闭曲线，只要不超出S(ε)，则认为是稳定的。与经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义不同！1x2x返回前页13caetcy⎩⎨⎧−==1221xxxx&&例：平衡状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00ex返回前页caetcy若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有()0,;lim0=−∞→ettttxxx则称此平衡状态是渐近稳定的。稳定若δ与初始时刻t0无关，则称系统的平衡状态xe是一致渐近稳定的。设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心，δ为半径的闭球域S(δ)内，即00tte=≤−δxx返回前页14caetcy()εS()δS0x与经典控制理论中稳定性的定义相同！1x2x几何意义：当t→∞时，从S(δ)出发的轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点可以无限接近，直至到达平衡点后停止运动。返回前页稳定caetcy几何意义：当t→∞时，从S(δ)出发的轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。()εS()δS0x1x2x返回前页稳定15caetcy⎩⎨⎧−−==21221xxxxx&&例：平衡状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00ex返回前页caetcy如果对于某个实数ε0和任一个实数δ0，不管这两个实数有多么小，在S(δ)内总存在着一个状态x0，由这一状态出发的轨迹超出S(ε)，则称此平衡状态是不稳定的。ex()εS()δS0x1x2x几何意义：初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点越来越远。稳定渐稳16caetcy如果对于某个实数ε0和任一个实数δ0，不管这两个实数有多么小，在S(δ)内总存在着一个状态x0，由这一状态出发的轨迹超出S(ε)，则称此平衡状态是不稳定的。ex()εS()δS0x1x2x稳定渐稳返回前页caetcy⎩⎨⎧==2211xxxx&&例：平衡状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00ex返回前页17caetcy当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围（全局）渐近稳定的。ex0x1x0x∞→δ()∞→δS2x几何意义：当t→∞时，从状态空间任意一点出发的轨迹都收敛于xe。3.稳定的范围初始状态在整个状态空间时，系统状态都渐近稳定。渐近稳定caetcy当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围（全局）渐近稳定的。ex0x1x0x∞→δ()∞→δS2x3.稳定的范围渐近稳定18caetcy当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围（全局）渐近稳定的。ex0x1x0x∞→δ()∞→δS2x线性系统稳定性与初始条件无关，如果渐近稳定，则必然大范围渐近稳定。3.稳定的范围渐近稳定非线性系统稳定性与初始条件密切相关，如果渐近稳定，不一定大范围渐进稳定。返回前页caetcy()()txtx&,mk例：机械位移系统返回前页19caetcy大范围渐近稳定渐近稳定大范围一致渐近稳定一致渐近稳定一致稳定对线性系统无差别与初始时刻无关收敛至平衡状态初始状态任意对定常系统无差别对定常系统无差别对定常系统无差别对线性系统无差别内部稳定/状态稳定李雅普诺夫稳定（稳定）返回前页caetcy李雅普诺夫意义下稳定/稳定渐近稳定不稳定停止来回摆动小球返回前页20caetcy4.内部稳定与外部稳定的关系内部稳定外部稳定⇒外部稳定内部稳定⇒外部稳定内部稳定⇔可控可观状态稳定输出稳定返回前页caetcy第六章第六章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析§1李雅普诺夫意义下的稳定性§2李雅普诺夫第一法(间接法)§3李雅普诺夫第二法(直接法)§4应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统的稳定性21caetcy线性定常系统：0,tt≥=Axx&xe渐近稳定A的所有特征值：Re(λk)0⇔xe李雅普诺夫意义下稳定⇔A的所有特征值：Re(λk)≤0且Re(λk)=0的特征值无重根xe不稳定⇔A有一个特征值：Re(λk)0或Re(λk)=0的特征值有重根caetcyxPx=APPA1−=21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nλλλO假定A有互异特征值，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=tttneeeλλλO21teA=teA1−PPAte22caetcy121−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=PPtttneeeλλλO1−=PPAAttee返回前页caetcy解:例：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=3210A2,121−=−=λλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111λλ11121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−P⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−211APP()⎥⎦⎤⎢⎣⎡==−−−ttteeet21APPΦ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−−−=−−−−−−−−tttttttteeeeeeee22222222()()1−==⇒PΦPΦAttet=P⎥⎦⎤⎢⎣⎡−