高中数学苏教版必修5第2章《2.2.1等差数列的概念》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

高中数学苏教版必修5第2章《2.2.1等差数列的概念》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案1教材分析高中数学必修五第二章第二节,等差数列,两课时内容,本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导,借助生活中丰富的典型实例,让学生通过分析、推理、归纳等活动过程,从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式,并且了解等差数列与一次函数的关系。本节是第二章的基础,为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础,是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一,并且在实际生活中有着广泛的应用,它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始,它对后续内容的学习,无论在知识上,还是在方法上都具有积极的意义。2教学目标1.知识目标:理解等差数列概念,掌握等差数列的通项公式,了解等差数列与一次函数的关系。2.能力目标:培养学生观察、归纳能力,应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。3.情感目标:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。3学情分析学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力,且对数列的知识有了初步的接触和认识,对数学公式的运用已具备一定的技能,已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程,对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展,但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。4重点难点教学重点:等差数列的概念及通项公式的推导。教学难点:对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。5教学过程5.1等差数列15.1.1教学活动活动1【导入】创设情景引入概念上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。阅读课本第33页思考:同学们观察一下这四个数列:0,5,10,15,20,……①48,53,58,63②18,15.5,13,10.5,8,5.5③10072,10144,10216,10288,10360④看这些数列有什么共同特点呢?(由学生讨论、分析)引导学生观察相邻两项间的关系,得到:对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的差都等于5;对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的差都等于5;对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的差都等于-2.5;对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的差都等于72;由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。等差数列的概念:对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征,尝试着给等差数列下个定义:等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列,它们的公差依次是5,5,-2.5,72。活动2【活动】推进概念，发现性质设计意图:概括等差中项的概念。总结等差中项公式,用于发现等差数列的性质。师生活动:师—想一想,一个等差数列最少有几项?它们之间有什么关系?学生思考后回答,至少三项,然后老师引导学生概括等差中项的概念。设三个数成等差数列,则A叫a与b的等差中项。同时有A-a=b-A,说明:(1)上面式子反过来也成立。(2)等差数列中的任意连续三项都构成等差数列,反之亦成立。不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列:1,3,5,7,9,11,13…中5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。看来,从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q则活动3【讲授】等差数列的通项公式设计意图:通过具体数列的通项公式,总结一般等差数列的通项公式,体会特殊到一般的数学思想方法。师生活动:师—对于一个数列,我们最关心的是每一项,而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。先写出上面引例中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。师—若一个数列是等差数列,它的公差是d,那么数列的通项公式是什么?启发学生:(归纳、猜想)可用首项与公差表示数列中任意一项。学生—即:即:即:……由此可得:师—从第几项开始归纳的?学生—第二项,所以n≥2。师—n=1时呢?学生—当n=1时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式()师—很好!(归纳、猜想,培养学生合理的推理能力)还有没有其他的推导方法?学生—还可用下面的方法归纳:当n=1时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式()师—我们把这种方法称为迭代法。还有其他的推导方法吗?(学生面露难色)启发:看方法一的第一个式子……有何规律?学生—可以用累加的方法,左边累加后得,右边累加的d+d+d+……+d共n-1个即=d+d+d+…….+d=(n-1)d师—这种方法叫累加法总结通项公式的推导方法:递推归纳法;迭代归纳法;累加法。注:通项公式中含有四个量,其中为基本量,当确定后,通项公式就确定了。活动4【讲授】例题分析设计意图:通过具体数列的通项公式,总结一般等差数列的通项公式,体会特殊到一般的数学思想方法。例1、⑴求等差数列8,5,2,…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?分析:⑴要求出第20项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差;⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。解:⑴由=8,d=5-8=-3,n=20,得⑵由=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n(独立的量有3个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数列中的项。例2.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费.令=11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费答:需要支付车费23.2元。例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。例3已知数列的通项公式为其中p、q为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?分析:判定是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看(n1)是不是一个与n无关的常数。解:取数列中的任意相邻两项(n1),求差得它是一个与n无关的数.所以是等差数列。课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少?这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列,一定是等差数列,一次项系数p就是这个等差数列的公差,首项是p+q.例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。活动5【练习】随堂练习例1之后:课本35页“练习”第1题;例2之后:课本35页“练习”第2题;活动6【活动】课堂小结本节主要内容为:①等差数列定义:即(n≥2)②等差数列通项公式:(n≥1)推导出公式:③设a,A,b为等差数列的三项,则有:2A=a+b