1.3.1 函数的单调性与导数

学习目标重点难点重点:利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间.难点:利用导数求函数的单调区间.2'1.3114.96.510,1.3129.86.5.,?hhtttvtvthtt图表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数的图象图表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有观什么区别察Othab1131.图Otabv2131.图.thtv,.th,th,:,'01相应地是增函数即的增加而增加时间随离水面高度运动员从起跳到最高点我们可以发现通过观察图象.thtv,.th,th,'02相应地是减函数即的增加而减小时间随运动员离水面高度从最高点到入水?思考:这种情况是否具有一般性呢1.32,.观察下面一些函数图象图探讨函数的单调性与其导数正负的关系xyyxO12xyOyx23xyOyx3xy1Oyx4231.图:,正负有如下关系函数的单调性与导数的一般地.xfy,xf;xfy,xf,b,a''在这个区间内单调递减那么函数如果在这个区间内单调递增那么函数如果内在某个区间00'0,?fxyfx如果在某个区间内恒有那么函数有什么特征()(,).fx的单调增区间是例1:判断下列函数的单调性,并求出单调区间:3(1)()3;(2)()sin,(0,);fxxxfxxxx32(3)()23241;(4)2ln.fxxxxyxx解:22(1)()333(1)0.fxxx∴函数在上单调递增.xxxf3)(3Rx(2)()cos10.fxx∴函数在上单调递减.xxxfsin)(),0(x()(0,).fx的单调减区间是2()6624fxxx解：'117117()022fxxx当，即或时，函数单调递增；例1:判断下列函数的单调性,并求出单调区间:'117117()0,22.fxx当即时，函数单调递减117()(,2117117117)().222fx的单调增区间为单调增），（，；，区间为32(3)()23241;(4)2ln.fxxxxyxx解:(4)函数的定义域为(0,＋∞),其导函数为y′＝2－1x.当2－1x0,即x12时，函数单调递增;当2－1x0,即0x12时，函数单调递减.∴函数f(x)的单调增区间为(12,＋∞),单调减区间为(0,12).例1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:32(3)()23241;(4)2ln.fxxxxyxx名师点评利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0;(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)();xfxex3(2)()3;fxxx32(3)().fxxxx1(4)().fxxx(1)()(,0)(0+)fx在单调递减，在，单调递增.(2)()(,1)(1+)(1,1)fx在和，单调递减，在单调递增.11(3)()(,)(1+)(,1)33fx在和，单调递增，在单调递减.211xy0112x令11xx或得：()11fx在（，）和（，）上单调递增,0112x令0110xx得：或()0,11,0fx在（）和（）上单调递减.,0)(0,)fx(4)解：（）的定义域为(-21201fxaxx,x.a例2.(1)已知函数（）在(]上是增函数，求的取值范围322f'xax()31gxxgxgmax而()在（0，1]上单调递增，()(1)=-1,解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增32f'xa-xx()0,即在（0，1]上恒成立1.a名师点评已知f(x)在区间D上单调,求f(x)中参数的取值范围的方法:方法一：将f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的参数分离,转化为求最值问题,从而求出参数的取值范围。方法二：利用函数的恒成立求出参数的取值范围.例如:若f′(x)为二次函数,可以由⊿及其他条件求得。325ax-xx-例2.（2）若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围.解:∵f′(x)＝3ax2－2x＋1,由题意可知f(x)在R上单调递增,∴f′(x)≥0对x∈R恒成立,即3ax2－2x＋1≥0在R上恒成立,∴a0，Δ＝4－12a≤0，解得a≥13.∴实数a的取值范围为a|a≥13.学习检测1.若为增函数，则一定有（）2.40Abac2.30Bbac2.40Cbac2.30Dbac2.函数在下面哪个区间内是增函数（）3.(,)22A.(,2)B35.(,)22C.(2,3)D3.已知函数32()1fxxaxx在(,)上是单调减函数，则实数a的取值范围是（）.(,3][3,).[3,3].(,3)(3,).(3,3)ABCD32()(0)fxaxbxcxdacossinyxxxBBB4.若函数32()4fxxax在区间（0,2）内是减函数，则实数a的取值范围是（）A.a≥3B.a=3C.a≤3D.0a35.已知函数y＝ax3＋bx2＋6x＋1的单调递增区间为(－2,3),求a,b的值.6.证明函数y=2x+sinx在R上是增函数。A5.解:y′＝3ax2＋2bx＋6,∵f(x)的单调递增区间为(－2,3),∴y′＝3ax2＋2bx＋60的解集为{x|－2x3}.∴－2和3是方程3ax2＋2bx＋6＝0的两个根.∴a=－13,b=12.6.证明:∵y′＝2＋cosx0,∴函数y=2x+sinx在R的单调递增.小结与反思高二一级部数学（选修2-2）编写：任成宪作业活页51页：7题