初中数学教材知识梳理·系统复习(1)

初中数学教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数（1）按定义分（2）按正、负性分正有理数有理数0有限小数或正实数负有理数无限循环小数实数0实数正无理数负实数无理数无限不循环小数负无理数（1）0既不属于正数，也不属于负数.（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构造型：如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°.（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.知识点二：实数的相关概念2.数轴（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.3.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、ba+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.4.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：|a|=a(a≥0)；|a-b|=a-b(a≥b)-a(a＜0).b-a(a＜b)（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.5.倒数（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)（2）代数意义：ab=1a,b互为倒数例：-2的倒数是-1/2；倒数等于它本身的数有±1.知识点三：科学记数法、近似数6.科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数例：21000用科学记数法表示为2.1×第2讲整式与因式分解知识点一：代数式及相关概念关键点拨及对应举例1.代数式（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．求代数式的值常运用整体代入法计算.例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）104；19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示为7×10-4.7.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.例：3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.知识点四：实数的大小比较8.实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.例：把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.知识点五：实数的运算9.常见运算乘方几个相同因数的积;负数的偶（奇）次方为正（负）例：（1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;3-1=_1/3_;π0=__1__;(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.失分点警示：类似“的算术平方根”计算错误.例：相互对比填一填：16的算术平方根是4___,的算术平方根是___2__.零次幂a0=_1_(a≠0)负指数幂a-p=1/ap（a≠0，p为整数）平方根、算术平方根若x2=a（a≥0）,则x=a.其中a是算术平方根.立方根若x3=a,则x=3a.10.混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化2.整式（单项式、多项式）（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.（3）整式：单项式和多项式统称为整式.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.例：（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是__1.知识点二：整式的运算3.整式的加减运算(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．(2)去括号法则:若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.4.幂运算法则(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n；(2)幂的乘方：(am)n＝amn；(3)积的乘方：(ab)n＝an·bn；(4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n(a≠0).其中m,n都在整数(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m·4m=23m.5.整式的乘除运算(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．(2)单项式×多项式：m(a+b)=ma+mb.(3)多项式×多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.（6）乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.变形公式：a2+b2=(a±b)2∓2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】/26.混合运算注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算．例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.知识点五：因式分解7.因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.(1)因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算．第3讲分式知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分式的概念（1）分式：形如BA(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母.例：下列分式：①;②;③;④2221xx，其中是分式是②③④；最简分式③.2.分式的意义(1)无意义的条件：当B＝0时，分式BA无意义；(2)有意义的条件：当B≠0时，分式BA有意义；(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式BA＝0.失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.例：当211xx的值为0时，则x＝-1.3.基本性质(1)基本性质：AACBBCACBC(C≠0)．（2）由基本性质可推理出变号法则为：AAABBB；AAABBB.由分式的基本性质可将分式进行化简：例：化简：22121xxx=11xx.知识点三：分式的运算4.分式的约分和通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，即babmam；(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即bcbdbcacdcba,,分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母，然后根据分式的性质通分.例：分式21xx和11xx的最简公分母为21xx.5.分式的加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即ac±bc＝a±bc；(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即ab±cd＝ad±bcbd.例：111xxx＝－1.2112.111aaaa6.分式的乘除法(1)乘法：ab·cd＝acbd；(2)除法：acbd＝adbc；(3)乘方：nab＝nnab(n为正整数).例：2abba＝12；21xxy＝2y；332x＝3278x.7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.第4讲二次根式知识点一：二次根式关键点拨及对应举例1.有关概念（1）二次根式的概念：形如a(a≥0)的式子.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式11x有意义，则x的取值范围是x＞1.2.二次根式的性质（1）双重非负性：①被开方数是非负数，即a≥0；②二次根式的值是非负数，即a≥0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题：（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如1a+1b=0，则a=-1，b=1.（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=1a+1a,则a=1,b=0.(2)两个重要性质：①(a)2＝a(a≥0)；②a2＝|a|＝00aaaa；(3)积的算术平方根：ab＝a·b(a≥0，b≥0)；(4)商的算术平方根：abab(a≥0，b＞0)．例：计算：23.14＝3.14；22＝2；24=；=2；442939知识点二：二次根式的运算3.二次根式的加减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．例：计算：2832＝32.4.二次根式的乘除法（1）乘法：a·b=ab(a≥0，b≥0)；注意：将运算结果化为最简二次根式.例：计算：3223＝1；3232224.（2）除法：ab=ab(a≥0，b＞0)．5.二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.例：计算：(2+1)(2-1)=1.第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组)知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例1.