第四章---不等式--复习课

第一节不等关系与不等式第二节一元二次不等式及其解法第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题第四节基本不等式内容提要第三章不等式第一节不等关系与不等式第三章不等式[知识能否忆起]1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b＞0⇔；a－b＝0⇔；a－b＜0⇔.a＞ba＝ba＜b第一节不等关系与不等式2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性ab⇔⇔传递性ab，bc⇒⇒可加性ab⇒⇒abc0⇒可乘性abc0⇒c的符号baaca＋cb＋cacbcacbc第一节不等关系与不等式性质性质内容注意同向可加性abcd⇒⇒同向同正可乘性ab0cd0⇒⇒可乘方性ab0⇒(n∈N，n≥2)可开方性ab0⇒(n∈N，n≥2)同正a＋cb＋dacbdanbnnanb倒数性质第一节不等关系与不等式[基础练习]1．(教材习题改编)下列命题正确的是()答案：DA．若ac＞bc⇒a＞bB．若a2＞b2⇒a＞bC．若1a＞1b⇒a＜bD．若a＜b⇒a＜b2．若x＋y0，a0，ay0，则x－y的值()A．大于0B．等于0C．小于0D．不确定解析：由a0，ay0知y0，又x＋y0，所以x0.故x－y0.答案：A第一节不等关系与不等式3．已知a，b，c，d均为实数，且cd，则“ab”是“a－cb－d”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a－cb－d，cd，则ab.但cd，ab⇒/a－cb－d.如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3时，a－cb－d.答案：B第一节不等关系与不等式4．已知a，b，c∈R，有以下命题：①若ab，则ac2bc2；②若ac2bc2，则ab；③若ab，则a·2cb·2c.其中正确的是_________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c0知成立．答案：②③第一节不等关系与不等式[例]已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．[自主解答]f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b,f(－2)＝4a－2b.设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.则m＋n＝4，m－n＝－2，解得m＝1，n＝3.∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.即f(－2)的取值范围为[5,10]．第二节一元二次不等式及其解法[知识能否忆起]一元二次不等式的解集二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c0与ax2＋bx＋c0的解集的关系，可归纳为：第四节基本不等式运用数形结合思想，得出以下结论x1x2⊿=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c0（a0）的解集ax2+bx+c0(a0)的解集x1(x2)⊿0⊿=0⊿0有两个不等实根x1,x2(x1x2)﹛x|xx1或xx2﹜﹛x|x1xx2﹜有两个相等实根x1=x2无实根﹛x|x≠x1﹜ΦΦR第二节一元二次不等式及其解法[基础练习]1．(教材习题改编)不等式x(1－2x)＞0的解集是()答案：BA.－∞，12B.0，12C．(－∞，0)∪12，＋∞D.12，＋∞第二节一元二次不等式及其解法2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A.xx≠－13B.－13C.x－13≤x≤13D．R答案：B第二节一元二次不等式及其解法A．[－4,4]B．(－4,4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)答案：D3．不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，则实数a的取值范围是()解析：不等式x2＋ax＋40的解集不是空集，只需Δ＝a2－160，∴a－4或a4.第二节一元二次不等式及其解法ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．例1．解不等式：第二节一元二次不等式及其解法(2)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，因为a＞0，所以x－1a(x－1)＜0.所以当a＞1时，解为1a＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解为1＜x＜1a.综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为x1＜x＜1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为x1a＜x＜1.第二节一元二次不等式及其解法1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．第二节一元二次不等式及其解法x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．解不等式：(2)由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0.由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．当a＜0时，x＜5a或x＞－a；当a＞0时，x＜－a或x＞5a.综上，a＜0时，解集为x|x＜5a，或x＞－a；a＞0时，解集为x|x＞5a，或x＜－a.第二节一元二次不等式及其解法例2．若关于x的不等式x2－ax－a0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：由Δ10，即a2－4(－a)0，得－4a0；由Δ2≥0，即a2－4(3－a)≥0，得a≤－6或a≥2.答案：(－4,0)(－∞，－6]∪[2，＋∞)第二节一元二次不等式及其解法1．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0.(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0.第二节一元二次不等式及其解法[知识能否忆起]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：不等式表示区域Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括Ax＋By＋C≥0包括不等式组各个不等式所表示平面区域的边界直线边界直线公共部分第二节一元二次不等式及其解法2.确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．第二节一元二次不等式及其解法2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的线性约束条件由x，y的不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或问题不等式(组)一次解析式一次(x，y)集合最大值最小值最大值最小值第二节一元二次不等式及其解法例1．若x，y满足约束条件x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3则z＝x－y的最小值是()A．－3B．0C.32D．3解析：根据x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3得可行域如图中阴影部分所示，根据z＝x－y得y＝x－z，平移直线y＝x，当其经过点(0,3)时取得最小值－3.A第二节一元二次不等式及其解法1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－bx－a.注意转化的等价性及几何意义．第二节一元二次不等式及其解法含参数的线性规划，1例1练，可从教师备选题找第二节一元二次不等式及其解法[例2]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元第二节一元二次不等式及其解法[自主解答]设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，则x＋2y≤12，2x＋y≤12，x≥0，y≥0，z＝300x＋400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即该公司可获得的最大利润是2800元．[答案]C第二节一元二次不等式及其解法与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：①设未知数，确定线性约束条件及目标函数；②转化为线性规划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．第四节基本不等式[知识能否忆起]一、基本不等式ab≤a＋b21．基本不等式成立的条件：.2．等号成立的条件：当且仅当时取等号．a0，b0a＝b二、几个重要的不等式a2＋b2≥(a，b∈R)；ba＋ab≥(a，b同号)．aba＋b22(a，b∈R)；a＋b22a2＋b22(a，b∈R)．2ab2≤≤第四节基本不等式三、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：．两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)x＝yx＝y2pp24第四节基本不等式[基础练习]答案：C1．(教材习题改编)函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)解析：∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号．第四节基本不等式2．已知m0，n0，且mn＝81，则m＋n的最小值为()A．18B．36C．81D．243解析：∵m0，n0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立．答案：A第四节基本不等式3．(教材习题改编)已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23解析：由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x＝