等差数列前n项和性质公开课

等差数列的前n项和公式:2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（形式1:形式2:复习回顾.将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？2)1(1dnnnaSn当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则Sn=An2+Bn令1,22ddABa例.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶n2dnd1nnaa性质2:(2)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S奇－S偶=,SS奇偶两等差数列前n项和与通项的关系性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab性质3:为等差数列.{}nSnan1nn2121nnST等差数列的性质应用：例1、已知一个等差数列前n项和为25，前2n项的和为100，求前3n项和。例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例3.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差数列{an}前n项和的性质的应用等差数列的性质应用：例4、已知等差数列的前10项之和为140，其中奇数项之和为125，求第6项。na解：由已知1210140aaa13579125aaaaa则24681015aaaaa6515a63a故1732225662256)(63542111212111daddada5d解一：设首项为a1,公差为d,则例.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。由2732354奇偶偶奇SSSS6SSd偶奇5d162192奇偶SS解二：例5.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。等差数列的性质应用：例、已知一个等差数列的总项数为奇数，且奇数项之和为77，偶数项之和为66，求中间项及总项数。解：由中间项SS奇偶得中间项为11又由143SS奇偶得13n例6.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且71427nnSnTn求和.55abnnab556463ab146823nnanbn等差数列{an}前n项和的性质的应用例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=.10153等差数列{an}前n项和的性质的应用例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d013a1+13×6d02437d等差数列{an}前n项和的性质(2)∵11(1)2nSnannd1(122)(1)2ndnnd25(12)22ddnn∴Sn图象的对称轴为5122nd由(1)知2437d由上得51213622d1362n即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.等差数列的性质应用：na例9：已知等差数列中，求的值。qppSqSqp,qpS解法1：dadqqqapdpppaq1112121dqpqpaqpSqp211代入下式得：qppqqpBqpApBqAqqBpAp22221BqpA2ApqBpqpq解法2：设*2NnBnAnSnpqSpq解法3：由已知11(1)2(1)2pqppSpadqqqSqadp1()(1)()2pqpqpqadqp两式相减得pq1112pqad1()(1)()()2pqpqpqSpqadpq212nSnn例7.已知数列前n项和，（1）求证：为等差数列；（２）记数列的前项和为，求的表达式.}{na}{nanTnT}{na例8.已知正整数数列中,前n项和满足na,)3(1212nnaSnSna求证:为等差数列.例9.已知数列的首项a１＝１,其前n项和sn和an之间的关系满an＝)2(1222nSSnnnS1(1)求证:为等差数列；(2)求{an}的通项公式.na练习：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值1.根据等差数列前n项和，求通项公式.1112nnnanaSSn2、结合二次函数图象和性质求的最值.ndandSn)2(2123.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,SS奇偶n2d0nd1nnaa－(m+p)性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),此时有:S奇－S偶=,SS奇偶两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab性质5:为等差数列.{}nSnan1nn2121nnST