林群院士的《微积分魔术》简介及全文

1微积分魔术封面图：变走飞机微积分像算术，2+9=9+2，由左变右便把幼儿的困惑变走（详见图0-1）也像变魔术把飞机变走作者林群（[e-mail]）摘要微积分直白的说，就是函数的算术（有别于数字的算术）．细的说，求导数就是对函数做除法，求积分则是对导数做加法．所以它们都是函数的算术．本文只取多项式函数（如nx），用两条中学等式，凸显求导数与求积分的秘密．微积分何用微积分躲不开、绕不过，高中学它为了快速解题、有利减负，何况大学理工科更要对付难题．但文史类就不要学吗？请看托尔斯泰本人对《战争与和平》的解读：2摘自《战争与和平》：只有采取无限小的观察单位——历史的微分，并运用积分的方法得到这些无限小的总和，我们才能得到问题的答案——历史的规律．正是这种微积分，纠正了人类由于只观察个别单位所不能不犯下的和无法避免的错误最后一句凸显了微积分对人类何用．还有一些故事：为什么柏林墙会在1989.11.9倒塌？为什么苏联在1992年1月瓦解？为什么股市在1929和1987年的10月崩溃？是什么导致9•11的恐怖袭击？不知情微积分会帮我们找到答案，知情知底．信吧？见[36]的报告．回到更近一些国计民生．买菜只用初等算术，但存款利息理应怎么算？见下图：复利或利滚利，底数每分秒在变化，要用微积分人口统计的难题能不能快速预报？见下图：2000年大陆人口普查，挨家挨户总动员，查了一年多，由初等算术得12.66亿，又慢又费；若改用微积分，只要一个大学生花5分钟，得13.45亿，又快又省，相差8000万（6.4%）可解释为人口流动和少报造成．此例凸显3了微积分的效率还有天气预报、地震预报会更难，2011年6月日本宣布滨冈核电地带在30年内发生8级地震的概率高达87%该核电因此被叫停，从而可能挽救多少人但人命关天：像2011年3月日本地震引发核泄漏，全世界为之买单，中国的菠菜也测到污染，甚或已经进入中国海域．排队买盐（不止中国）简言之从人间、天上直到地下，许多事都用微积分解答．这些事难道不会影响到你的行为、感觉或感情，甚或生存？尽管你不必亲自写小说，算账、计利息或作预报，这些都有别人做，但是它们怎么来的?为什么这样？暗藏什么玄机？难道你就不闻不问听任别人摆布，不想享有知情权（或知识权）吗？知情权这也是生存权的一部分，若你有这意识，生存不光吃喝，那就应该学一点微积分．以上是参考消息，道听途说，加油添醋，进行挑动与激将，不很严肃．下面才言归正传．4序2x是照妖镜或透视机:图0-1原形毕露大学时代我学两年微积分，后来在大学又教几回，最后才明白微积分（求导数与积分）本质上是函数的算术（但有别于数字的算术）．为什么这么说呢？导数什么是一个函数的导数呢？关键采用实物，例如函数2x，它的导数就是做除法22()?xhxh当0h，形象化：0?0初看无解！但利用中学等式来约化22()2xhxxhh，（0-1）你便发现，左边0h在分母（是小除数h），但变到右边呢？h只是小尾巴（不是小除数了）．简言之，由左变右便把小除数h由分母变到尾巴．最后去尾留头，或变走h，便变出2x的导数，2()'2xx，或形象化22(0)200xxx，(0-2)5它度量了函数2x在一点x处的变化率（思考：等式（0-1）左边是2x在小段[,]xxh上的变化率，当h变走时小段便缩到一点x）．中学生对此有疑惑吧？别把简单的事想的太复杂（什么极限之类）：等式（0-1）左右两边只有一个差别h，当差别变走，左边不就变到了2x吗？这怪不怪、绝不绝？像不像变魔术（封面图变走飞机），是不是戏剧性转变，但这又是可摸到的实物！参照物：算术等式，2992，不也是由左变右，便把被加数由9变到2？图0-2幼儿算术：左边要掰9个手指头，右边能心算感叹：导数已经讲完，就这么一条等式（0-1）啊，凸显了00的秘密！导数的积分导数是一个函数（如2x）在一点x处的变化率，但积分是函数在区间[,]ab上的总变化（如22ab）．目标：将函数2x的总变化，22ab，变到导数2x上．它能达到吗？为此，将[,]ab剖分为若干小区间，有节点01,,,nxxx：011,nnaxxxxbkxakh，1bahn．图0-3求导数只需在你站的地方，求积分则需一排人站在各分点6第一步，将2x的总变化变为在各小区间上的变化之和：2200221122222222()()()()nnxhxxhxbaxhxxhx……（0-3）第二步，利用等式（0-1）将（0-3）的右边变到导数2x（在各节点）上：222222222000111()2,()2,,()2nnnxhxxhhxhxxhhxhxxhh.使得等式（0-3）改写为22201222(1)nbaxhxhxhnh（0-4）其中尾巴22()(1)1banhn．当n变大，尾巴变走，右边变为无限和，或形象化2201202020nxxxba（0-5）并记为2x在[,]ab上的积分：b2a2dbaxxx，读为导数2x的积分等于原始函数2x的总变化(或反过来说)，这就是微积分基本公式．奇迹！中学生有点晕吧？细心点推导就好了！感叹：导数的积分也讲完了，就这么一条等式（0-4）啊，凸显了无限相加的秘密！上面说的只是2x，但是多项式（如nx）也一样做——所有推导过程都可照样（留作习题）．7小结本文用心良苦，也是得意之处，就是策划了这么一个实物（2x），然后用等式（0-1）（0-4）来约化，道破了微积分的天机．一个理论由一个实物戳穿，奇迹！到此可以说，多项式的这两种算术（求导数以及求导数的积分）归结到两条等式（0-1）（0-4）上（由左变右，戏剧性变化），完全的推导只有几步中学数学（浅显的习题），奇迹，微积分中学化了，解了当务之急！图0-4梦想成真：中学微积分感叹：在中学习题（nx）里找到微积分的种子！图0-5种子担心：多项式太窄了？刘嘉荃认为，中学用的最多也就是多项式的求导数与求积分．知足常乐，一般读者到此收兵止步．有余力者再往下读．发酵：从等式到不等式8图0-6发酵除了多项式，其它初等函数()fx（如1,xx，sinx，xe）也有等式（0-1），（0-4）吗？不幸，只有不等式：导数，'()fx，和导数的积分，0'()nkkkfxh，分别满足()()'()fxhfxfxChh，（0-6）0()()|['()]|nkkkkkkkfxhfxfxhh0|'()(()())|nkkkfxhfbfaCh（0-7）其中符号0nkkA是01kAAA的缩写（对更一般函数的可导和可积，要将（0-6）（0-7）右边放宽为1）．这两条代数式，（0-6）（0-7），就是全部微积分的精髓或总结（见于1999年1月我的老书《画中漫游微积分》，广西师大出版社,它的亮点：求导数的积分），懂得它们也就懂了全文（式（0-7）不就是微积分基本公式吗），所以这两条代数式怎么强调也不过分.再极端点说：忘掉一切也不可忘了这两条代数式，它们是本书唯一需要用心之处，必须渗入血液和骨头．精通了它们也就胸有成竹，其它部分一扫而过！感叹：微积分竟是中学习题2x的发酵或包装！挑战：微积分来自这么几个实物，别的课程就那么难？不服！9与九九歌对比微积分的结果列成两张表导数表与积分表两条金刚守住微积分的大门：图0-7微积分两张表典型的有1()'(n+1)nnxx及1bad1nnbaxxxn（1n）（0-8）其中n可以是负的非整数．它们实是函数的除法与加法表（如（0-2）（0-5）所示），其重要性正如数字的表：图0-8九九歌后者幼儿必读，前者青少年必读！10承前启后到此，我们已经对微积分做了2x—光透视，及早地（在第一时间）、明澈地识破了两张表（中学生也能知其然并知其所以然）或基本公式．这便作为最原始的资本，或第一遍微积分，以后的微积分便从此展开，不断地使用和发酵．例如泰勒公式，便是原始基本公式的反复使用；甚至多元微积分也只是花蕾（0-6）（0-7）的开花．所以有了这两张表或基本公式，虽不说一劳永逸，也是一通百通、一本万利（即便有点夸张）！反垄断：不等式与等式微积分一贯被，或不等式，所垄断．没想到，多项式的微积分（对中学足够了）只需要等式，这就打破了垄断．而且不涉及无理数，再简单没有了．根据伍鸿熙假设：中学数学是有理数的数学，所以多项式微积分是最理想的中学教材．今昔对比为了凸显，我们把上述工作方法比作直接法，或裸法，赤裸裸的实物不包装，针对核心目标（两张表）跳出无关内容，抄近路抢山头（图0-9右），概念定理少、证明推导短，速战速决，几页便让世人知其所以然．对比当今课本盛行的系统法：目标分散，先要讲极限、连续性、实数等，导致概念定理多、证明推导长，疲劳战，迂回周折（图0-9左）数百页捉不住要领，让世人百思难解，难以知情．图0-9系统法(盘山公路迂回战)直接法(抄近路速战速决)当然，系统法学的更多，对于数学专业，迟早得学，只是贪多致糊涂．所以，夸张点，直接法几页胜过系统法数百页！11后几遍微积分接下来，最大的战役或主战场，是向“微分方程”世界进军．微分方程是牛顿以来无数科学家用来主宰世界的模型，图0-10运动服从微分方程也是高中和大学的分水岭，属于更难的算术，高中数学已不够用，除了大学专业中高深的概念定理和更长的证明推导，还得求助于计算机．图0-11多兵种这时只能走大道（图0-16系统法），尚无小路（直接法）可攀，所以到了该出手时才出手！继续长征，图0-12长征扩张到多变元，掀开了历史的新页，也是花样最多的部分．所以微积分要分为几遍．本文只是按重轻急缓、易难浅深，分出先后，重新组织，各个处理．我们的战术：先占主峰制高点（两张表、泰勒公式），再由点到面扩大战果（微分方程、多元微积分）．12第１篇微积分两张表微积分压倒一切的两件事，求导数与求积分．当今盛行的课本要改变：求导数退出极限过程改用中学代数式；求积分退出函数的面积改求导数的面积．就像左图，改变视角重新认识，复杂度猛降！本篇不过是等式（0-1）（0-4）的包装或细化，有量的增加，没有质的大变，只是由等式变成不等式！1.1导数：微积分之首微积分是近代数学之首，求导数又是微积分之首，擒贼先擒首．图1-2打虎先打首那么什么是导数呢？它是度量一个函数，()fx，在一点x处的变化率．为此，先要考虑与之相邻的点（或一个小区间[,]xxh），于是想到利用差商()()fxhfxh．（1-1）但注意到，上式随着h的变化会产生多个数，太复杂了．我们需要找到一个数来“代表”它们．既然问题出在h上，就要想方设法将其消去．自然的想法令0h，但是遇到了小除数的问题，00，陷入了死胡同．那么到底什么是我们要找的那个“代表数”呢？这个小除数问题能否绕个弯解决呢？当今盛行的课本是通过一个“取极限”的过程找到一个“导数”（记'()fx）来解决的，通常写作130()()'()limhfxhfxfxh．这个定义像妖魔一样令中学生困惑，图1-30?0只能鹦鹉学舌般盲目地计算，如下例．例102200011lim(1)11limlimlim()hhhhxhxxhxxhxxh222000111limlim()lim0hhhxxhxxhx=21x．例20000lim11limlimlim()hhhhxhxxhxhxxhx00000111limlimlim()limlimhhhhhxhxxhxxhx112xxx．前面0h看作常数,后面又令0h略去不计，中间各种极限运算，不明不白、让人费解，所以需要重新认识！更突出的，此法遇到例3三角函数如000sinsin0sin(sin)'|limlimxhhhhxhh?算不下去，成了死棋，更需要重新认识．当今高中教师只让学生死背