空间曲线的参数化

一、空间曲线的参数化若积分曲线Γ的参数方程],[)(),(),(ttzztyytxxΓ，：,则曲线积分的计算公式为)())(),(),(({dddtxtztytxPzRyQxPΓ}d)())(),(),(()())(),(),((tztztytxRtytztytxQ],[d)()()())()()((d)(222tttztytxt,zt,ytxfsx,y,zfΓ，曲线积分计算的关键是如何将积分曲线Γ参数化。下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法。1.设积分曲线0),,(0),,(zyxGzyxFΓ：,从中消去某个自变量,例如z，得到Γ在xoy平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先将它们表示成参数方程),(),(tyytxx然后将它们代入0),,(0),,(zyxGzyxF或中，解出)(tzz由此得到Γ的参数方程：],[)(),(),(ttzztyytxx，。例1将曲线yxazyxΓ2222：，(其中0a)用参数方程表示。解：从Γ的方程中消去y，得到xoz平面上的投影曲线2222azx,这是椭圆，它的参数方程为]2,0[,sin,cos2ttaztax，将其代入Γ的方程，得到第七讲曲线积分与曲面积分taycos2,所以Γ的参数方程为]2,0[,sincos2cos2ttaztaytaxΓ：。2.若Γ的方程中含有园、椭圆或球的方程时，要充分利用园、椭圆或球的所熟知的参数方程先将其参数化，再代入Γ的另一方程，求出另一变量的参数表达式。例2将曲线ayyxyxzΓ22222：，(其中0a)用参数方程表示。解：Γ在xoy平面的投影曲线为ayyx222,这是一个圆，先将其参数化。因为22222)(2aayxayyx,所以它的参数方程为]2,0[tsincos，taaytax，将其代入22yxz得]2,0[t)sin1(2)sin()cos(222，tataataz所以Γ的参数方程为]2,0[,)sin1(2sincos2ttaztaaytaxΓ：。例3对例1加一个条件0x，求它的参数方程。解：2222azyx是球面，引入球坐标，],0[],2,0[,cossinsincossinazayax由于xy得)0(4cossinx，，故],0[,cossin22sin22azayax二、曲线积分的计算1.注意到曲线积分的被积函数),(yxf是定义在积分曲线上的，因此它的自变量应满足积分曲线方程，所以首先可用积分曲线方程0),(yxL：去化简被积函数。2.对称性的应用(以第一类平面曲线积分为例)(1)曲线L关于x轴对称，是指),(),(yxyx,换句话说，若,),(Lyx则它的对称点Lyx),(；(2)曲线L关于y轴对称，是指),(),(yxyx,换句话说，若,),(Lyx则它的对称点Lyx),(；(3)曲线L关于原点对称，是指),(),(yxyx,换句话说，若,),(Lyx则它的对称点Lyx),(；(4)曲线L关于直线xy对称(或直线xy对称)，是指),(),(xyyx,(或),(),(xyyx),换句话说，),(),(xyyx与互为对称点，),(),(xyyx与互为对称点。若曲线积分Lsyxf)d,(的被积函数),(yxf在任意的对称点处的函数值互为相反数，则0)d,(Lsyxf；在任意的对称点处函数值都相等，则1)d,(2)d,(LLsyxfsyxf，其中1L是相应对称积分曲线的一半。例1计算(1)Lyxxds)(22,其中：L)0(222aayx;(2)Lyxyxxyds)]34(sin432[2222,其中：L13422yx,周长为a。解：(1)由于L关于y轴对称，被积函数x在对称点处的函数值互为相反数，所以0dsLx。由于L关于直线xy对称，函数22yx在对称点处互为相反数,所以0)ds(22Lyx,即LLyxdsds22，从而有32222ds21)ds(21dsaayxxLLL由于L的参数方程为]2,0[sincos，，yax，所以0452045202222444dsin2dsindsincossindsaaaaayL55204522-4504543224134dsin4dsin2dsin2aaaaa.（2）Lyxyxxyds)]34(sin432[2222LLyxyxxyds)]34(sin121)34[(12ds22222aL12ds)sin1211(120.其中L关于x轴对称，且2xy在对称点处的值互为相反数，所以0ds2Lxy.例2设其它020e),(y-xyxfy-x，求弧长的曲线积分Lsyxf)d,(，其中L为正方形1||||yx的边界。解：如图ABEFGy-xLssyxfde)d,(,由于折线ABEFG对关于直线xy对称，且在对称点上有),(),(xyfyxf,所以)dede(2de2)d,(BEy-xABy-xABEy-xLssssyxf]1,21[1:x-xyxxAB，,)1e(22d2ede1-12121xsx-ABy-x；]0,21[-1:xxyxxBE，,e,22d2ede021xsBEy-x原式)1ee(2)dede(2de2-1BEy-xABy-xABEy-xsss。例3计算Γsyzyd)2(222，其中)0(2222axyazyxΓ，：。解：(1)由于在Γ上xy，所以ΓΓΓΓΓsyasysasyzyxsyzyd2ddd)(d)2(2222222222由例1Γ的参数方程为]2,0[,sin,cos2,cos2ttaztaytaxΓ：,则2tdtcos2dt)sint()cost2()cost2()cost2(d320232022222aaaaaasyΓ.所以3222222d)2(aasyzyΓ。3.格林公式的应用DLyxyQxPyyxQxyxPd)d(d),(d),((1)若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线(或曲线)使之构成封闭曲线，再应用格林公式；(2)若封闭曲线L所围成的区域D内有“奇点”,则在奇点外成立yQxP等式的条件下，有LLyyxQxyxPyyxQxyxPd),(d),(d),(d),(成立，其中L是围绕奇点的正向简单闭曲线，通常是园或椭圆等。例1设,}10,10),,({yxyxD记L为它的正向边界曲线。证明：2dedededesinx-sin-sinxsinLyLyxyyxxyyx证：由格林公式得DyDyLyyxyxyyxxxyyxd)dee[(d]d)e()e([dedesinx-sinsinx-sinsinx-sin2ddee2d)dee[(sinx-sinxsinx-sinxDDyxyx其中DDyxyxddedde-siny-sinx，是由于D是关于直线xy对称，即DDxyfyxf)d,()d,(。同理可证2dede-sinxsinLyxyyx。两积分相等可由格林公式得出。例2计算Lyxxyyx224dd，其中L是以(1,0)为中心R(R1)为半径的正向圆周。解：首先验证yyxyyxyxxyxx)4()4(4)4(222222222成立。由于在L为边界的闭区域D内222244yxyyxx，有不连续点(0,0)，因此在D内部作正向闭曲线2224yxL：，其中充分小，所以22dd2dd14dd4dd22222222DLLLyxxyyxyxxyyxyxxyyx例3.已知关于坐标的曲线积分AyxxyyxL2)(dd(常数)，其中函数)(x可导，且L，1)1(是围绕(0,0)的任一分段光滑正向闭曲线，求（1）函数)(x的表达式；（2）A的值。解：（1）为了应用格林公式求出)(x，先计算对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭曲线C都有0)(dd2Cyxxyyx.(因为)(x未知,所以原点有可能为被积函数的不连续点)如图：0)(dd)(dd)(dd)(dd)(ddmAl2nl2m2n22AAyxxyyxyxxyyxyxxyyxyxxyyxyxxyyxBAABABAABC由此可知对)0,0(),(yx有yyxyxyxx))(())((22成立，即22)()()(yxxxyx，解此微分方程得2)(Cxx，由于，1)1(所以C=1所求的2)(xx。（2）取L1为正向圆周122yx，则2dxdy2dd11)(dd1x22211yLLxyyxyxxyyxA。4．利用曲线积分来计算曲面的面积（1）柱面0),(1yxF：被曲面),z(zyx：截下部分的面积。计算公式为CyxzS)ds,(，其中0),(yxF在xoy面上的投影曲线.例1求柱面12323yx位于球面1222zyx之内的侧面的面积S。解：由于关于三个坐标面都对称，所以08SS(S0是S位于第一卦限部分的面积)。由对弧长的曲线积分的几何意义，知道2023232323220dt)tsin()tcos(1)tsin()tcos(1ds1CyxS1633t)dtsin-t(sin33tdttsincos33costsintdt3ttsincos3204220222022所以23380SS.（2）由坐标面上的平面曲线绕某轴旋转一周而成的旋转曲面的面积。例如yoz平面上的曲线))((:Cbyayfz绕y轴旋转一周而成的旋转曲面的面积.计算公式为CyfSds|)(|2例2设12221zyx：，zzyx22222：，求1的表面位于2内部分的的面积。解：如图：1的表面位于2内部分的曲面可以看成是由AB绕z轴旋转一周而成的旋转的侧面，1)21(1:2zzyAB，所以dzy112ds12ds|)(|21212z21212zzyfSC121121222dz2dz1112zzz.三、曲面积分的计算1.第一类曲面积分)dS,,(zyxf的对称性(1)曲面关于xoy平面对称，是指若,),,(zyx则它关于xoy平面的对称点),,(zyx；(2)曲面关于原点对称，是指,),,(zyx则它的对称点),,(zyx；(3)曲面关于平面xy对称，是指,),,(zyx则它的对称点),,(zxy；若被积函数),,(zyxf的在对称点处的函数值互为相反数，则0)dS,,(zyxf；在对称点处函数值相等，则1)dS,,(2)dS,,(zyxfzyxf，其中1是相应对称积分曲面的一半。例1求下列曲面积分（1）1)dS(222zyx，其中z22221Rzyx：；（2）