4.2锥面

4.2锥面定义4.2.1在空间中通过一个定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面,这些直线都称为锥面的母线,定点称为顶点,定曲线称为准线。显然,锥面上与每条母线相交但不过顶点的曲线都是这个锥面的准线.现求椎面的一般方程：设锥面的顶点是,准线方程为：在锥面上任取一点,过点P的母线与准线的交点为.由（1）点M在准线上；（2）与共线,有从这个方程组中消去参数即可得到锥面的方程.000(,,)Axyz(,,)0,(,,)0.FxyzGxyz(,,)Pxyz111(,,)MxyzAMAP100100100111111(),(),(),(,,)0,(,,)0.xxuxxyyuyyzzuzzFxyzGxyzAPM准线例：已知圆锥面的顶点在原点,轴垂直于平面,母线与轴成角,求此圆锥面的方程.解设是圆锥面上的任意一点,那么过点P的母线的方向向量可取为.而圆锥的轴线的方向向量就是平面的法向量,即.根据圆锥面的特性,有即化简得所求圆锥面的方程为：220xyz30(,,)Pxyz(,,)xyzv220xyz(2,2,1)vcos30,vv222222223.22(2)1xyzxyz2221111233216160.xyzxyxzyz例直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．xozy解yoz面上直线方程为cotyz圆锥面方程cot22yxzoxzy2222yxaz或设为实数,对于函数,如果当有意义时,式子成立.则称为次齐次函数,称方程为次齐次方程.定理4.2.1一个关于的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面.证明：设表示的曲面为S.由于取,得.这表明坐标原点在曲面S上.现设是曲面S上的任意异于原点的点.考察直线OP上的任意一点,由（t为实常数）,有：那么这表明整条直线OP都在曲面S上.即曲面S是由过原点O的直线生成的,从而S是一个以原点为顶点的锥面.(,,)fxyzt(,,)(,,)ftxtytztfxyz,,xyz(,,)0Fxyz(,,)0Fxyz(,,)(,,).FtxtytztFxyz0t(0,0,0)0F000(,,)Pxyz(,,)MxyzOMtOP000,,.xtxytyztz000000(,,)(,,)(,,)0.FxyzFtxtytztFxyz根据定理4.2.1,方程所确定的曲面是一个锥面,称为二次锥面.要知道这个锥面的形状,只须确定它的一条准线就行了。显然,用平面去截它,就得到一条准线：这是平面上的一个椭圆因此,这个锥面又常常被称为椭圆锥面.2222220xyzabczc22221,.xyabzcOxyzzc