北师大版数学【选修2-3】练习：2.2-超几何分布(含答案)

第二章§2一、选择题1．袋中有除颜色外完全相同的3个白球和2个红球，从中任取2个，那么下列事件中发生的概率为710的是()A．都不是白球B．恰有1个白球C．至少有1个白球D．至多有1个白球[答案]D[解析]P(都不是白球)＝C22C25＝110，P(恰有1个白球)＝C13C12C25＝35，P(至少有1个白球)＝C13C12＋C23C25＝910，P(至多有1个白球)＝C22＋C13C12C25＝710故选D.2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么至少有一个是一等品的概率是()A.C116C24C320B.C216C24C320C.C216C14＋C316C320D．以上均不对[答案]D[解析]至少有一个是一等品的概率是C116C24＋C216C14＋C316C04C320.3．某电视台有一次对收看新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了45名电视观众，其中20至40岁的有18人，大于40岁的有27人．用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，在这5名观众中再任取2人，则恰有1名观众的年龄在20至40岁的概率为()A.15B.35C.310D.110[答案]B[解析]由于是分层抽样，所以5名观众中，年龄为20至40岁的有1845×5＝2人．设随机变量X表示20至40岁的人数，则X服从参数为N＝5，M＝2，n＝2的超几何分布，故P(X＝1)＝C12C13C25＝35.二、填空题4．在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为________．[答案]0.7[解析]5名学生中抽取2人的方法有C25种，至少有1名男生参加的可能结果有C12C13＋C22种，所以概率为C12C13＋C22C25＝0.7.5．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A的概率是________．[答案]0.0018[解析]因为一副扑克牌中有4张A，所以根据题意，抽到扑克牌A的张数X为离散型随机变量，且X服从参数为N＝52，M＝5，n＝4的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4，根据超几何分布的公式得至少有3张A的概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C34C248C552＋C44C148C552＝4×11282598960＋1×482598960≈0.0018.故至少有3张A的概率约为0.0018.三、解答题6．盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设ξ表示其中黑球的个数，求出ξ的分布列．[分析]显然这是一个超几何分布的例子．N＝20，M＝4，n＝3.利用P(ξ＝m)＝CmMCn－mN－MCnN求出概率值，则分布列可得．[解析]ξ可能取的值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C04C316C320，P(ξ＝1)＝C14C216C320，P(ξ＝2)＝C24C116C320，P(ξ＝3)＝C34C016C320.∴ξ的分布列为ξ0123PC04C316C320C14C216C320C24C116C320C34C016C320[点评]超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型，要理解P(ξ＝m)＝CmMCn－mN－MCnN的意义，然后求出的相应的概率，列出分布列即可.一、选择题1．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，则恰抽取1名女生的概率是1645，则a＝()A．1B．2或8C．2D．8[答案]B[解析]设X表示抽取的女生人数，则X服从超几何分布，P(X＝1)＝C1aC110－aC210＝a10－a45＝1645，解得a＝2或a＝8.2．一个盒子里装有除颜色外完全相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列算式中等于C122C14＋C222C226的是()A．P(0X≤2)B．P(X≤1)C．P(X＝1)D．P(X＝2)[答案]B[解析]由C122C14＋C222可知，是从22个元素中取1个与从4个元素中取1个的可能取法种数之积，加上从22个元素中取2个元素的可能取法种数，即4个白球中至多取1个，故选B.3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球．今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于C18C16＋C14C16C112C112的是()A．P(X＝0)B．P(X≤2)C．P(X＝1)D．P(X＝2)[答案]C[解析]当X＝1时，有甲袋内取出的是白球，乙袋内取出的是红球或甲袋内取出的是红球，乙袋内取出的是白球个数是X＝1时，有P(X＝1)＝C18C16＋C14C16C112C112.4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于()A.715B.815C.1415D．1[答案]C[解析]由题意，知X取0,1,2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝C27C210＝715，P(X＝1)＝C17·C13C210＝715，P(X＝2)＝C23C210＝115，于是P(X2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝715＋715＝1415.5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么310等于()A．恰有1个是坏的概率B．恰有2个是好的概率C．4个全是好的概率D．至多有2个是坏的概率[答案]B[解析]A中“恰有1个是坏的概率”为P1＝C13C37C410＝105210＝12；B中“恰有2个是好的概率”为P2＝C27C23C410＝310；C中“4个全是好的概率”为P3＝C47C410＝16；D中“至多有2个是坏的概率”为P4＝P1＋P2＋P3＝2930，故选B.二、填空题6．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．[答案]37[解析]将50名学生看做一批产品，其中选修A课程为不合格品，选修B课程为合格品，随机抽取两名学生，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.依题意所求概率为P(X＝1)＝C115C2－150－15C250＝37.7．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，则其中出现次品的概率为________．[答案]47245[解析]设抽到次品的件数为X，则X服从参数为N＝50，M＝5，n＝2的超几何分布，于是出现次品的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝C15C2－150－5C250＋C25C2－250－5C250＝949＋2245＝47245.即出现次品的概率为47245.三、解答题8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．(1)求X的分布列；(2)求“所选3人中女生人数不大于1”的概率．[分析]这个问题与取产品的问题类似，从中发现两个问题在本质上的一致性，从而可用超几何分布来解决此问题．[解析](1)X的可能取值为0,1,2，P(X＝k)＝Ck2C3－k4C36，k＝0,1,2.所以X的分布列为X012P153515(2)P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝15＋35＝45.[点评]本题考查超几何分布及分布列等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解此类题首先要分析题意，确定所给问题是否是超几何分布问题，若是，则写出参数N，M，n的取值，然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，写出其分布列．9．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．求：(1)甲答对试题数X的分布列；(2)乙所得分数Y的分布列．[解析](1)X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝C34C310＝130，P(X＝1)＝C24C16C310＝310，P(X＝2)＝C14C26C310＝12，P(X＝3)＝C36C310＝16.所以甲答对试题数X的分布列为X＝k0123P(X＝k)1303101216(2)乙答对试题数可能为1,2,3，所以乙所得分数Y＝5,10,15.P(Y＝5)＝C22C18C310＝115，P(X＝10)＝C12C28C310＝715，P(Y＝15)＝C38C310＝715.所以乙所得分数Y的分布列为Y51015P115715715[点评]此题两问都属于典型的超几何分布，关键是根据计数原理，完成随机变量各取值的概率计算．在分析第(2)问随机变量的可能取值时，极容易忽视已知条件“乙能答对8道题”，而错误地认为“Y＝0,5,10,15”，可见分析随机变量的可能取值一定要正确．同时应注意，在求解分布列时可运用分布列的性质来检验答案是否正确．10．(2014·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．[解析](1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13·C27＋C03·C37C310＝4960.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0,1,2,3)所以，随机变量X的分布列是X0123P1612310130随机变量X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.