高等数学(同济大学)课件下第8-10最小二乘法

第八章*第十节问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系y＝f(x).oyx需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型•根据数据点的分布规律•根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准)(iixfy•实验数据有误差,不能要求机动目录上页下页返回结束最小二乘法oyx•偏差)(iiixfyr有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小min)]([20iinixfy为使所有偏差的绝对来确定近似函数f(x).最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体机动目录上页下页返回结束特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b令min)(20bxayknkk),(baMaMbMbxay满足:使oyx得bxnkk0axnkk0解此线性方程组即得a,b称为法方程组机动目录上页下页返回结束例1.为了测定刀具的磨损速度,每隔1小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解:通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为(P67例1)bxayoyt27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567机动目录上页下页返回结束得法方程组a140b28a285.2088b717解得,125.27,3036.0ba故所求经验公式为125.273036.0)(ttfyit0i2itiyiity70027.0074924.8137.628140208.5717.0机动目录上页下页返回结束为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:oyt称为均方误差,Mn1对本题均方误差124.071M它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动目录上页下页返回结束108165.0)]([270iiitfyM偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200)(iitfyoyt称为均方误差,Mn1对本题均方误差124.071M它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动目录上页下页返回结束108165.0)]([270iiitfyM偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200)(iitfy例2.在研究某单分子化学反应速度时,得到下列数据:57.641.931.022.716.612.28.96.5369121518212412345678其中表示从实验开始算起的时间,y表示时刻反应物的量.试根据上述数据定出经验公式).(fy(P70例2)解:由化学反应速度的理论知,经验公式应取meky其中k,m为待定常数.对其取对数得kmylnlnkbmaXyYln,,,ln令bXaY(线性函数)(书中取的是常用对数)机动目录上页下页返回结束因此a,b应满足法方程组:81lnkkky81lnkky经计算得解得:所求经验公式为104.057.78ey其均方误差为135.071M机动目录上页下页返回结束观测数据:用最小二乘法确定a,b通过计算确定某些经验公式类型的方法:),,1,0(),(niyxii),,2,1(,11niyyyxxxiiiiii令,)1(定值若iixybxay则考虑,lnln)2(定值若iixybxay则考虑,ln)3(定值若iixyxbeay则考虑axbylnlnln转化为axbylnln转化为机动目录上页下页返回结束作业(习题8-10)P721,2习题课目录上页下页返回结束