西南交大大学物理AⅠ作业评讲No.10

本习题版权归西南交大理学院物理系所有《大学物理AI》作业No.10安培环路定律磁力磁介质班级________学号________姓名_________成绩_______一、选择题1．在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路L1、L2，圆周内有电流I1、I2，其分布相同，且均在真空中，但在(b)图中L2回路外有电流I3，P1、P2为两圆形回路上的对应点，则：[](A)=∫⋅1dLlBvv∫⋅2dLlBvv,21PPBB=(B)≠∫⋅1dLlBvv∫⋅2dLlBvv,21PPBB=(C)=∫⋅1dLlBvv∫⋅2dLlBvv,21PPBB≠(D)≠∫⋅1dLlBvv∫⋅2dLlBvv,21PPBB≠解：由安培环路知环量只与回路内电流的代数和有关，有=∫⋅1dLlBvv∫⋅2dLlBvv，空间各点磁场与电流和电流的位置(分布)有关，有21PPBB≠选C2．取一闭合积分回路L，使三根载流导线穿过它所围成的面。现改变三根导线之间的相互间隔，但不超出积分回路，则[](A)回路L内的∑I不变，L上各点的Br不变(B)回路L内的∑I不变，L上各点的Br改变(C)回路L内的∑I改变，L上各点的Br不变(D)回路L内的∑I改变，L上各点的Br改变解：因改变三根导线之间的相互间隔，但不超出积分回路，则安培回路内电流的代数和∑I不变；空间各点磁场与电流的位置(分布)有关，所以L上各点的Br将改变。选B3．一电子以速度vv垂直地进入磁感强度为Bv的均匀磁场中，此电子在磁场中运动轨道所围的面积内的磁通量将[](A)正比于B，反比于v2(B)反比于B，正比于v2(C)正比于B，反比于v(D)反比于B，反比于v解：电子以速度vv垂直地进入磁感强度为Bv的均匀磁场中，由洛仑兹力公式Bvqfvvv×=知其运动轨道所围的面积为圆面积22)(qBmvRSππ==（洛仑兹力为圆运动向心力），磁通量BqvmqBmvBBSSBS2222)(dππ===⋅∫vr选BL1L2P1P2I1I2I3I1I2(a)(b)⊙⊙⊙⊙⊙vvBv4．如图所示，在磁感应强度为Br的均匀磁场中，有一圆形载流导线，a、b、c是其上三个长度相等的电流元，则它们所受安培力大小的关系为：[](A)aFbFcF(B)aFbFcF(C)bFcFaF(D)aFcFbF解：由安培定律BlIFrrr×=dd可知：安培力的大小为),dsin(),dsin(ddBlBllBIFrrrr∝=由图可知道，在b点夹角),d(Blrr最大，c点次之，a点为0所以bFcFaF。选E5．在一个磁性很强的长的条形磁铁附近放一条可以自由弯曲的软导线，如图所示。当电流从上向下流经软导线时，软导线将：[](A)不动(B)被磁铁推至尽可能远(C)被磁铁吸引靠近它，但导线平行于磁棒(D)缠绕在磁铁上，从上向下看，电流是顺时针方向流动的(E)缠绕在磁铁上，从上向下看，电流是逆时针方向流动的解：磁铁的磁力线如图所示，由安培定律BlIFrrr×=dd可知：导线上部a点受力方向垂直纸面向里，下部b点受力方向垂直纸面向外，所以软导线将缠绕在磁铁上，从上向下看，电流是逆时针方向流动的。选E二、填空题1．载有一定电流的圆线圈在周围空间产生的磁场与圆线圈半径R有关，当圆线圈半径增大时，(1)圆线圈中心点(即圆心)的磁场。(2)圆线圈轴线上各点的磁场。解：(1)圆线圈中心：RIB200μ=，R增大，0B减小。(2)圆线圈轴线上：232220)(2xRIRB+=μ3222122323220)()(3)(22ddxRxRRxRRIRB++−+⋅=μ2522320)(22xRRRxI+−⋅=μ令2020dd32RxRRxRB=∴=−=。NSIIbaBrcabI所以：各点2Rx时，0ddRB，R增大时B减小；各点2Rx时，0ddRB，R增大时B增大。2．如图，平行的无限长直载流导线A和B，电流强度均为I，垂直纸面向外，两根载流导线之间相距为a，则(1)AB中点(P点)的磁感应强度pBr=。(2)磁感应强度Br沿图中环路L的积分∫=⋅LlBrrd。解：(1)由长直电流磁场rIBπμ20=有电流A、B在AB中点P点产生的磁场大小相等，方向相反，所以PB=0。(2)由安培环路定理，∫∑=⋅LIlB0dμrr，其中与L成右旋关系的为正，反之为负。题中L内电流A流向向外，与L不成右旋关系，为负，所以IlBL∫−=⋅0dμrr。3．如图所示，在宽度为d的导体薄片上有电流I沿此导体长度方向流过，电流在导体宽度方向均匀分布。导体外在导体薄片中线附近处P点的磁感应强度Br的大小为。解：过P点作安培环路L如图所示，根据对称性分析，Br平行于薄片表面，由安培环路定理∫∑=⋅LIlB0dμrr有：ldIlBΔ⋅=Δ⋅02μ所以P点的磁感应强度Br的大小dIB20μ=4．一个顶角为30°的扇形区域内有垂直纸面向内的均匀磁场Bv。有一质量为m、电荷为q(q0)的粒子，从一个边界上的距顶点为l的地方以速率v=lqB/(2m)垂直于边界射入磁场，则粒子从另一边界上的射出的点与顶点的距离为________________，粒子出射方向与该边界的夹角为__________________。解：由洛仑兹力公式Bvqfvvv×=知带电粒子在磁场中绕顶点作圆周运动，其半径为l30°vBvPayxA..BL•P俯视图IdPplΔxxBrBrαθ22lmlqBqBmqBmvR=⋅==由图中几何关系有粒子从另一边界上的射出的点与顶点的距离为ll2330cos22=×o粒子出射方向与该边界的夹角为o60=θ或o120=α　5．如图，半圆形线圈(半径为R)通有电流I。线圈处在与线圈平面平行向右的均匀磁场Bv中。线圈所受磁力矩的大小为________________________，方向为______________。把线圈绕OO＇轴转过角度_________________时，磁力矩恰为零。解：由放入均匀磁场中的线圈所受力矩BpMvvv×=m有线圈所受磁力矩的大小IBRBIRM22212sin21πππ=×=由右手螺旋定则知方向为在图面中向上（mpv方向垂直图面向上，Bv方向向右）磁力矩恰为零，则0sin212=×=απBIRM故线圈绕OO＇轴转过角度)2,1(nLL=π+π21=nα6．如图，在面电流密度为jv的均匀载流无限大平板附近，有一载流为I半径为R的半圆形刚性线圈，线圈平面与载流大平板垂直，与jv平行线圈所受磁力矩为_____________________，受力为________________。解：均匀载流无限大平板附近磁场方向垂直半圆形刚性线圈向里，载流为I半径为R的半圆形刚性线圈磁矩mpv垂直半圆形刚性线圈向里，由BpMvvv×=m有与jv平行半圆形刚性线圈所受磁力矩为00sin212=×=oBIRMπ由安培定律与jv平行半圆形刚性线圈直边和弯曲边所受力大小相等，方向相反，为与jv平行半圆形刚性线圈受力为0。三、计算题1．图示为两条穿过y轴且垂直于x—y平面的平行长直导线的俯视图，两条导线皆通有电流I，但方向相反，它们到x轴的距OO′RIBvIIRjvxPaaOyxI.I×离皆为a。(1)推导出x轴上P点处的磁感应强度)(xBr的表达式。(2)求P点在x轴上何处时，该点的B取得最大。解：(1)由安培环路定理∫∑=⋅LIlB0dμrr可得：导线1和导线2在P点产生的磁感应强度大小分别为：2200122xaIrIB+==πμπμ2200222xaIrIB+==πμπμ方向如图所示。由二者叠加，可得：xxxBBB21+=2222022xaaxaI+⋅+⋅=πμ)(220xaIa+=πμ0=yBixaIaxBrr)()(220+=πμ(2)令0)(2dd2220=+−=xaIaxxBπμ，得0=x，又0)()3(2dd32222022+−−=xaxaIaxBπμ所以0=x出B有极大值。2．半径为R的均匀薄金属球壳，其上均匀分布有电荷Q，球壳绕过球心的轴以角速度ω转动。(1)求球壳旋转产生的圆电流的磁矩pm；(2)若球壳的质量为m，求磁矩和动量矩之比pm/L。[xxxx33cos31cosdsin+−=∫]解：(1)设金属球壳面电荷密度为σ，则球面角宽度为dθ的一个带状面元（阴影）上的电荷θθσdsin2dRRq⋅=π它旋转相当于电流θθσωωdsind2d2RqI=π=其磁矩为=π(=IRpmd)sind2θθθσωdsin34Rπ∴球壳旋转产生的圆电流的磁矩∫π=π034dsinθθσωRpm3/44Rσωπ=3/2QRω=(2)设金属球壳质量面密度为ρs，则球面角宽度为dθ的一个带状面元的质量θdθdθaa12xOyxI.I×θθθ1Br2BrPθθρdsin2dRRms⋅=π它旋转的动量矩为=⋅⋅=mRRLdsinsindθωθθθωρdsin234Rsπ∴∫∫ππ==034dsin2dθθωρRLLsπ⋅=2344RsωρmRRs243238ωπωρ==∴磁矩和动量矩之比为mQLpm2=3．在xOy平面内有一圆心在O点的圆线圈，通以顺时针绕向的电流I1另有一无限长直导线与y轴重合，通以电流I2，方向向上，如图所示。求此时圆线圈所受的磁力。解：设圆半径为R，选一微分元dl，由安培定律知它所受磁力大小为BlIF⋅=dd1由于对称性，y轴方向的合力为零。∴θcosddFFx=θθμθcoscos2d201RIRIπ=θμd2210π=II∴圆线圈所受的磁力∫π==π20210d2θμIIFFx210IIμ=I1I2OyxI1I2OyxlvdFvdθθd