九章算术

《九章算术》一：《方田》1、方田:今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。（求长方形面积）2、方田:又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步。（长方形面积=广*从）以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。（广、从是表示边长;步是长度单位，亩、顷是面积单位；1亩=240步（积步）、1顷=100亩）3、方田:今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。（里是长度单位；1里=300步）4、方田:又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。（1积里=3顷75亩=375亩）5、方田:今有十八分之十二。问约之得几何？答曰：三分之二。（约分）6、方田:又有九十一分之四十九。问约之得几何？答曰：十三分之七。约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。7、方田:今有三分之一，五分之二。问合之得几何？答曰：十五分之十一。（分数加法）8、方田:又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？答曰：得一、六十三分之五十。9、方田:又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？答曰：得二、六十分之四十三。合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。（实是被除数，法是除数，实如法而一是被除数除以除数的意思）不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。（合之是加，即分数加法）10、方田:今有九分之八，减其五分之一。问馀几何？答曰：四十五分之三十一。（分数减法）11、方田:又有四分之三，减其三分之一。问馀几何？答曰：十二分之五。减分术曰：母互乘子，以少减多，馀为实，母相乘为法，实如法而一。（分数减法）12、方田:今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。13、方田:又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三分之二。14、方田:又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？几何？答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。课分术曰：母互乘子，以少减多，馀为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。（孰多是那个数多，即比较数的大小）15、方田:今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。16、方田:又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。平分术曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实，馀，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。（问减多益少表示多的减少，少的增加；各几何而平表示增减多少就相等。即求比平均数后各数比平均数多多少、少多少）17、方田:今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱、二十一分钱之四。（分数除法）18、方田:又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？曰：人得二钱、八分钱之一。经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。（即求把一个分数平均分成几份，每份是多少）19、方田:今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？答曰：三十五分步之十二。20、方田:又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？答曰：十一分步之七。21、方田:又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？答曰：九分步之四。乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。(分数乘法)22、方田:今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二。问为田几何？答曰：十八步。23、方田:又有田广七步、四分步之三，从十五步、九分步之五。问为田几何？曰：一百二十步、九分步之五。24、方田:又有田广十八步、七分步之五，从二十三步、十一分步之六。问为田几何？答曰：一亩二百步、十一分步之七。大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。25、方田:今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？答曰：一百二十六步。（求三角形面积）26、方田:又有圭田广五步、二分步之一，从八步、三分步之二。问为田几何？曰：二十三步、六分步之五。术曰：半广以乘正从。（三角形面积=广÷2*正从）（圭田是等腰三角形或三角形，正广或正从是高）27、方田:今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？答曰：九亩一百四十四步。28、方田:又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？答曰：二十三亩七十步。术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。（邪田是梯形）【梯形面积=（上底+下底）*高÷2】29、方田:今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？答曰：一亩一百三十五步。30、方田:又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？答曰：四十六亩二百三十二步半。术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。（箕田也是梯形）31、方田:今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？答曰：七十五步。（求圆面积）（圆周率为3）32、方田:又有圆田周一百八十一步，径六十步、三分步之一。问为田几何？曰：十一亩九十步、十二分步之一。术曰：半周半径相乘得积步。或周径相乘，四而一。或径自相乘，三之，四而一。或周自相乘，十二而一。（圆田是圆形；周长=3*直径；四而一是除以四）（圆面积=周长÷2*半径=周长*直径÷4=直径*直径*3÷4=周长*周长÷12）33、方田:今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。34、方田:又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步、四分步之一。术曰：以径乘周，四而一。（宛田是圆形）35、方田:今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。36、方田:又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？答曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。【扇形面积=（弦*矢+矢*矢）÷2】（只适用九十度的扇形）（弧田是扇形，九十度的扇形；弦为扇形弧线的连点长，矢为圆心到弦的距离）37、方田:今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？答曰：二亩五十五步。38、方田:又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？答曰：四亩一百五十六步、四分步之一。术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。（环田是环形；径是环形半径差）【环形面积=（外周+内周）÷2*内外周半径差】二：《粟米》粟米:粟米之法：粟率五十；粝米三十；稗米二十七；绺米二十四；御米二十一；小?十三半；大?五十四；粝饭七十五；稗饭五十四；绺饭四十八；御饭四十二；菽、答、麻、麦各四十五；稻六十；豉六十三；飧九十；熟菽一百三半；櫱一百七十五。（以上各物均以定物为参照，如可换粟五十或换粝米三十或换稗米二十七。。。）术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。1、粟米:今有粟一斗，欲为粝米。问得几何？答曰：为粝米六升。术曰：以粟求粝米，三之（乘3），五而一（除以5）。（1斗=10升）（即乘30/50）2、粟米:今有粟二斗一升，欲为稗米。问得几何？答曰：为稗米一斗一升、五十分升之十七。术曰：以粟求稗米，二十七之，五十而一。3、粟米:今有粟四斗五升，欲为绺米。问得几何？答曰：为绺米二斗一升、五分升之三。术曰：以粟求绺米，十二之，二十五而一。4、粟米:今有粟七斗九升，欲为御米。问得几何？答曰：为御米三斗三升、五十分升之九。术曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。5、粟米:今有粟一斗，欲为小?。问得几何？答曰：为小?二升、一十分升之七。术曰：以粟求小?，二十七之，百而一。6、粟米:今有粟九斗八升，欲为大?。问得几何？答曰：为大?一十斗五升、二十五分升之二十一。术曰：以粟求大?，二十七之，二十五而一。7、粟米:今有粟二斗三升，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭三斗四升半。术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。8、粟米:今有粟三斗六升，欲为稗饭。问得几何？答曰：为稗饭三斗八升、二十五分升之二十二。术曰：以粟求稗饭，二十七之，二十五而一。9、粟米:今有粟八斗六升，欲为绺饭。问得几何？答曰：为绺饭八斗二升、二十五分升之一十四。术曰：以粟求绺饭，二十四之，二十五而一。10、粟米:今有粟九斗八升，欲为御饭。问得几何？答曰：为御饭八斗二升二十五分升之八。术曰：以粟求御饭，二十一之，二十五而一。11、粟米:今有粟三斗少半升，欲为菽。问得几何？答曰：为菽二斗七升、一十分升之三。12、粟米:今有粟四斗一升、太半升，欲为答。问得几何？答曰：为答三斗七升半。13、粟米:今有粟五斗、太半升，欲为麻。问得几何？答曰：为麻四斗五升、五分升之三。14、粟米:今有粟一十斗八升、五分升之二，欲为麦。问得几何？答曰：为麦九斗七升、二十五分升之一十四。术曰：以粟求菽、答、麻、麦，皆九之，十而一。15、粟米:今有粟七斗五升、七分升之四，欲为稻。问得几何？答曰：为稻九斗、三十五分升之二十四。术曰：以粟求稻，六之，五而一。16、粟米:今有粟七斗八升，欲为豉。问得几何？答曰：为豉九斗八升、二十五分升之七。术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。17、粟米:今有粟五斗五升，欲为飧。问得几何？答曰：为飧九斗九升。术曰：以粟求飧，九之，五而一。18、粟米:今有粟四斗，欲为熟菽。问得几何？答曰：为熟菽八斗二升、五分升之四。术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。19、粟米:今有粟二斗，欲为櫱。问得几何？答曰：为櫱七斗。术曰：以粟求櫱，七之，二而一。20、粟米:今有粝米十五斗五升、五分升之二，欲为粟问得几何？答曰：为粟二十五斗九升。术曰：以粝米求粟，五之，三而一。21、粟米:今有稗米二斗，欲为粟。问得几何？答曰：为粟三斗七升、二十七分升之一。术曰：以稗米求粟，五十之，二十七而一。22、粟米:今有绺米三斗、少半升，欲为粟。问得几何？答曰：为粟六斗三升、三十六分升之七。术曰：以绺米求粟，二十五之，十三而一。23、粟米:今有御米十四斗，欲为粟。问得几何？答曰：为粟三十三斗三升、少半升。术曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。24、粟米:今有稻一十二斗六升、一十五分升之一十四，欲为粟。问得几何？曰：为粟一十斗五升、九分升之七。术曰：以稻求粟，五之，六而一。25、粟米:今有粝米一十九斗二升、七分升之一，欲为稗米。问得几何？答曰：为稗米一十七斗二升、一十四分升之一十三。术曰：以粝米求稗米，九之，十而一。26、粟米:今有粝米六斗四升、五分升之三，欲为粝饭。问得几何？答曰：为粝饭一十六斗一升半。术曰：以粝米求粝饭，五之，二而一。27、粟米:今有粝饭七斗六升、七分升之四，欲为飧。问得几何？答曰：为飧九斗一升、三十五分升之三十一。术曰：以粝饭求飧，六之，五而一。28、粟米:今有菽一斗，欲为熟菽。问得几何？答曰：为熟菽二斗三升。术曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一。29、粟米:今有菽二斗，欲为豉。问得几何？答曰：为豉二斗八升。术曰：以菽求豉，七之，五而一。30、粟米:今有麦八斗六升、七分升之三，欲为小?，问得几何？曰：为小?二斗五升、一十四分升之一十三。术曰：以麦求小?，三之，十而一。31、粟米:今有麦一斗，欲为大?。问得几何？答曰：为大?一斗二升。术曰：以麦求大?，六之，五而一。32、粟米:今有出钱一百六十，买瓴甓十八枚。问枚几何？答曰：八钱、九分钱之八。33、粟米:今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个。问个几何？曰：五钱、四十七分钱之三十五。经率术曰：以所买率为法，所出钱数为实，实如法得一钱。34、粟米:今有出钱五千七百八十五，买漆一斛六斗七升、太半升。欲斗率之，问斗几何。答曰：三百四十五钱、五百三分钱之一十五。（1斛=10斗；太半升就是2/3升）35、粟米:今有出钱七百二十，买缣一匹二丈一尺。欲丈率之，问丈