1997-2015管理类联考真题模块化归类(排列组合部分)

微博：@范老师要逆天了1/15第九章计数原理本章对应大纲考点有：加法原理、乘法原理；排列与排列数；组合与组合数；其中，两个基本原理是学习本章所有内容的基础、核心，其中乘法原理尤为重要，正是根据乘法原理推导出两个工具：排列数和组合数纵观历年真题，考生需做到如下几点要求：（1）能运用加法、乘法原理来分析如何完成一件事情；（2）理解最基本工具“组合数mnC”的含义，掌握组合数的计算方法及性质；（3）会一些常用的排列组合方法如捆绑法、插空法、隔板法……第一节加法原理、乘法原理知识要点两个原理1.加法原理如果完成一件事有n类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就可以完成这件事；若第一类办法中有1m种不同的方法，第二类办法中有2m种不同的方法……第n类办法中有nm种不同的办法，那么完成这件事共有12......nNmmm种不同的方法.。例：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析：从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，有4种方法；第二类方法，乘汽车，有2种方法；第三类方法，乘轮船，有3种方法；所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法2.乘法原理如果完成一件事，必须依次连续地完成n个步骤，这件事才能完成；若完成第一个步骤有1m种不同的方法，完成第二个步骤有2m种不同的方法……完成第n个步骤有nm种不同的方法，那么完成这件事共有12......nNmmm种不同的方法例：如图，由A村去B村的道路有2条，由B村去C村的道路有3条，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？分析：从A村经B村去C村有2步：甲地乙地火车汽车轮船微博：@范老师要逆天了2/15第一步，由A村去B村有2种方法，第二步，由B村去C村有3种方法，所以从A村经B村去C村共有2×3=6种不同的方法。【注意】分类计数原理和分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事.解题关键点：应用两种原理解题：1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制.另外，考试非常乐于考察“乘法原理”，乘法原理的使用标志有两个：一个是完成事情需要“分步”，一定要用乘法原理；另一个是“无论上一步选择何种完成方法，下一步的方法数不变”,这是使用乘法原理的一个最基本要求一个可有可无的工具“排列数”mnP（或mnA）从n个不同元素中任选m个，放到m个不同的位置上的情况数记为mnP（或mnA），不难用乘法原理分析出来，12...1mnPnnnnm特殊地，m个不同元素放到m个不同位置上，共有12...1mmm种方法，记为!m真题实战【2008年10月】某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人.若从四种血型的人中各选1人去献血，则不同的选法种数共有A.1200B.600C.400D.300E.26【答案】A【解析】四种血型各选1人分为4步，第一步从10个O型人中选1人有10种方法；第二步从5个A型人中选1人有5种方法……，故最后答案为105831200种【2000年1月】用五种不同的颜色涂在图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法（）种A.120B.140C.160D.180ABCD微博：@范老师要逆天了3/15【答案】D【解析】涂这四块区域分4步，第一步涂A有5种方法，第二步涂B要求与A不同色有4种方法，第三步涂D要求与A、B均不同色有3种方法，第四步涂C要求与B、D不同色有3种方法，故共5433180种方法【2007年10月】有5人报名参加3项不同的培训，每人都只报一项，则不同的报法有A.243种B.125种C.81种D.60种E.以上均不对【答案】A【解析】5个人分5步，每人都有3种报名方法，故共有5333333种不同的报法【2008年1月】公路AB上各站之间共有90种不同的车票（1）公路AB上有10个车站，每两站之间都有往返车票（2）公路AB上有9个车站，每两站之间都有往返车票【答案】A【解析】条件（1）：只要将车票的起点和终点确定，车票就确定了，因此分两步：第一步确定起点，10个车站均有可能作为起点，有10种方法，第二步确定终点（起点与终点不能相同），有9种方法，故共有10990种车票，充分；同理条件（2）有9872种不同车票，不充分；综上选A小结：排列数这个工具从本质上讲就是乘法原理，它可有可无，没有排列数，我们利用乘法原理一步步分析题目同样能够解题，特殊地，m个元素的全排列记为!m【1997年10月】某公司电话号码有5位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9的任意个，则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是A.126B.1260C.3024D.5040E.30240【答案】C【解析】第一步：分析第一位，要求第一位数字必须是5，只有1种方法；第二步：分析第二位：按照要求“电话号码由完全不同的数字组成”第二位数字不能是第一位的5，有9种方法；第三步：分析第三位，第三位数字不能是前两位用过的数字，有8种方法；以此类推，第四位有7种方法，第五位有6种方法，故共有98763024种方法【另解】第一位数字是5，余下4位数字可以是由0到9（除5以外）的任意4个排列而成，因此情况数为44993024PA【另解】4449994!3024PAC【评注】两条件都对特殊位置有特殊要求，遇到有特殊要求的，我们采取先分析特殊位置或元素（有要求），再分析一般位置或元素（无要求）的分析步骤【1999年1月】加工某产品需要经过5个工种，其中某一工种不能最后加工，试问可安排（）种工序A.96B.102C.112D.92E.86【答案】A微博：@范老师要逆天了4/15【解析】某一工种不能最后加工，意味着另外4个工种可以放在最后，有4种方法，确定最后加工的工种后再将剩余4个工种全排列即可按要求完成，根据乘法原理可安排44!96种【另解】可以从反面计算，用总情况数5!减掉“某工种放在最后加工”的情况数4!【2011年1月】现有3名男生和2名女生参加面试，则面试的排序法有24种（1）第一位面试的是女生（2）第二位面试的是指定的某位男生【答案】B【解析】条件（1）：第一步分析第一位，要求第一位面试的是女生，可以是2名女生中的任意一名，有2种方法，第二步分析第二位，第二位没有任何要求，由于第一位已经面试过1名女生，第二位可以面试除了第一名面试过的女生外剩余的任意4人，有4种方法，以此类推，第三步分析第三位，有3种方法，第四步分析第四位有2种方法，第五步只有一种方法，故共有2432148种方法，不充分；条件（2）：第一步分析第二位，要求面试的是指定的某位男生，故第一步只有一种方法，其它步骤类似于条件（1）的分析思路，分别由4,3,2,1种方法，故共有432124种方法，充分；综上选B【2012年1月】在两队进行的羽毛球对抗赛中，每队派出3男2女共5名运动员进行5局单打比赛，如果女子比赛安排在第二和第四局进行，则每队队员的不同出场顺序有A.12种B.10种C.8种D.6种E.4种【答案】A【解析】第一步：要求女子比赛安排在第二和第四局，先分析第二和第四局，2名女运动员可以互相交换顺序，有2!种方法（可以将2名女运动员看成元素，2局比赛看成位置，2个元素放在2个位置上，有2!种方法），第二步：分析剩余3局（第一、三、五局），3名男选手可以互相交换顺序，有3!种方法（将3名男运动员看成元素，3局比赛看成位置，3个元素放在3个位置上，有3!种方法），综上共2!3!12种方法小结：用乘法原理分析问题时。如果遇到有特殊要求的元素或位置，通常先处理有要求的特殊元素或位置，再分析无要求的一般元素或位置【2013年1月】确定两人从A地出发经过B,C沿逆时针方向行走一圈回到A地的方案（如图）.若A地出发时，每人均可选大路或山道，经过B,C时，至多有一人可以更改道路，则不同的方案有A.16种B.24种C.36种D.48种E.64种微博：@范老师要逆天了5/15【答案】C【解析】分步思考，从A到B，每人有两种，所以两人有4种；从B到C，如果至多有一人变道，两人有3种；从C到A，两人有3种；从而总共4×3×3=36种【2014年1月】某单位决定对4个部门的经理进行轮岗，要求每个经理必须轮换到4个部门中的其他部门任职，则不同的轮岗方案有A.3种B.6种C.8种D.9种E.10种【答案】D【解析】设4个部门的经理为甲、乙、丙、丁4人，第一步分析甲：由于甲不能取自己的部门，甲只能去乙丙丁3个部门中的某个部门，有3种方法，假设甲去了乙部门；第二步分析乙：乙也有3种方法；如果第一步中甲去了丙部门，第二步分析丙，丙也有3种方法（无论第一步甲去哪个部门，第二步总有3种方法）；第三步：剩下2名经理只能去对方的部门，有1种方法；综上共339种方法【发散】4元素不对号问题有9种方法，5元素不对号问题有44种方法小结：在分步过程中，“无论上一步选择何种完成方法，下一步的方法数是不变的”，这是在分步分析问题时之所以用“乘”的根本原因第二节组合数及其性质、二项式定理知识要点组合数的概念：从n个不同元素中任选m个的所有情况数，记为mnC组合数mnC是排列数mnP中的第一步，即!mmnnPCm，那么组合数可以这样计算1...1!!mmnnnnnmPCmm组合数的性质：微博：@范老师要逆天了6/1501nnnCC，mnmnnCC；xynnCCxy或xyn二项式定理：001111222211110121...nnnnnnnnnnnnnnnnnabCabCCabCCabCCabCab当1ab时，0122...nnnnnnCCCC；当1,1ab时，0120...nnnnCCC；两式相加可得02222...nnnCC，故有0241...2nnnnCCC；同理可得1351...2nnnnCCC解题关键点：理解组合数的概念；熟练掌握组合数的计算公式及运算性质；理解二项式定理真题实战【2002年1月】方程56711710xxxCCC的解是A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】567117!!7!1054...664...71076...8xxxxxxCCCxxx，去分母化简可得11776671076xxx，即223420xx，解得2x或21x（舍）【技巧】可逐个验证选项【发散】若题目改为56711710xxxPPP，答案是否发生变化？不变！【2010年10月】4173131nnCC（1）27120nn（2）210240nn微博：@范老师要逆天了7/15【答案】E【解析】题干：4173131417nnCCnn或41731nn，解得5n；条件（1）：方程27120nn的解为4n或3n，不充分；条件（2）：方程210240nn的解为4n或6n，不充分；两条件联合后得5n，依然不充分；综上选E【2008年10月】46nnCC（1）10n（2）9n【答案】B【解析】条件（1）：10n时，461010CC，不充分；条件（2）：9n时，436999CCC，充分；综上选B【评注】组合数