2019高考复习14-数列解答题-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析(解析版)

名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！1.【2017山东，理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，11nxxxx,所围成的区域的面积nT.【答案】(I)12.nnx（II）(21)21.2nnnT【解析】试题分析：(I)依题意布列1x和公比q的方程组.（II）过123,,,PPP……1nP向x轴作垂线，垂足分别为123,,,QQQ……1nQ,由(I)得111222.nnnnnxx记梯形11nnnnPPQQ的面积为nb.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！由题意12(1)2(21)22nnnnnbn，所以123nTbbb……+nb=101325272……+32(21)2(21)2nnnn①又0122325272nT……+21(21)2(21)2nnnn②①-②得121132(22......2)(21)2nnnTn=1132(12)(21)2.212nnn所以(21)21.2nnnT【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.2.【2017北京，理20】设{}na和{}nb是两个等差数列，记1122max{,,,}nnncbanbanban(1,2,3,)n，其中12max{,,,}sxxx表示12,,,sxxx这s个数中最大的数．（Ⅰ）若nan，21nbn，求123,,ccc的值，并证明{}nc是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，ncMn；或者存在正整数m，使得12,,,mmmccc是等差数列．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）分别代入求123,,ccc，观察规律，再证明当3n时，11()()20kkkkbnabnan，名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！所以kkbna关于*kN单调递减.所以112211max{,,,}1nnncbanbanbanbann，即证明；（Ⅱ）首先求nc的通项公式，分1110,0,0ddd三种情况讨论证明.试题解析：解：（Ⅰ）111110,cba21122max{2,2}max{121,322}1cbaba，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2cbababa.当3n时，1111()()()()20kkkkkkkkbnabnabbnaan，所以kkbna关于*kN单调递减.（Ⅱ）设数列{}na和{}nb的公差分别为12,dd，则12111121(1)[(1)]()(1)kkbnabkdakdnbandndk.所以1121211121(1)(),,nbanndnddndcbandnd当时，当时，①当10d时，取正整数21dmd，则当nm时，12ndd，因此11ncban.此时，12,,,mmmccc是等差数列.②当10d时，对任意1n，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).ncbanndbanda此时，123,,,,,ncccc是等差数列.③当10d时，当21dnd时，有12ndd.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！所以1121121112(1)()()ncbanndndbdnddadnnn111212()||.nddadbd对任意正数M，取正整数12112211||max{,}Mbdadddmdd，故当时，ncMn.【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.3.【2017天津，理18】已知{}na为等差数列，前n项和为()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312bb,3412baa，11411Sb.（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}nnab的前n项和()nN.【答案】（1）32nan.2nnb.（2）1328433nnnT.【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式列方程求出等差数列首项1a和公差d及等比数列的公比q，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（I）设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}nb的公比为q.由已知2312bb，得21()12bqq，而12b，所以260qq.又因为0q，解得2q.所以，2nnb.由3412baa，可得138da①.由114=11Sb，可得1516ad②，联立①②，解得11a，3d，由此可得32nan.名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！所以，数列{}na的通项公式为32nan，数列{}nb的通项公式为2nnb.（II）解：设数列221{}nnab的前n项和为nT，由262nan，12124nnb，有221(31)4nnnabn，故23245484(31)4nnTn，23414245484(34)4(31)4nnnTnn，上述两式相减，得231324343434(31)4nnnTn1112(14)4(31)414(32)48.nnnnn得1328433nnnT.所以，数列221{}nnab的前n项和为1328433nn.【考点】等差数列、等比数列、数列求和4.【2017浙江，22】（本题满分15分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（Nn）．证明：当Nn时，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1−xn≤12nnxx；（Ⅲ）112n≤xn≤212n．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）由数学归纳法证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2111111422(2)ln(1)nnnnnnnnxxxxxxxx，构造函数2()2(2)ln(1)(0)fxxxxxx，由函数单调性可证；（Ⅲ）由名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！1111ln(1)nnnnnxxxxx，得1122nnnnxxxx，递推可得1211(N)22nnnxn试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：0nx当n=1时，x1=10假设n=k时，xk0，那么n=k+1时，若01kx，则0)1ln(011kkkxxx，矛盾，故01kx．因此)(0Nnxn，所以111)1ln(nnnnxxxx，因此)(01Nnxxnn（Ⅱ）由111)1ln(nnnnxxxx得2111111422(2)ln(1)nnnnnnnnxxxxxxxx记函数2()2(2)ln(1)(0)fxxxxxx函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以()(0)fxf=0，因此2111112(2)ln(1)()0nnnnnxxxxfx，112(N)2nnnnxxxxn（Ⅲ）因为1111ln(1)nnnnnxxxxx，所以112nnx得1122nnnnxxxx，111112()022nnxx，12111111112()2()2222nnnnxxx，故212nnx，1211(N)22nnnxn【考点】不等式证明5.【2017江苏，19】对于给定的正整数k,若数列{}na满足1111nknknnnknkaaaaaa2nka对任意正整数()nnk总成立，则称数列{}na是“()Pk数列”.（1）证明：等差数列{}na是“(3)P数列”;（2）若数列{}na既是“(2)P数列”，又是“(3)P数列”，证明：{}na是等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:（1）因为na是等差数列，设其公差为d，则1(1)naand，从而，当4n时，nknkaaa11(1)(1)nkdankd名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！122(1)2nanda，1,2,3,k所以nnnnnnnaaaaaaa321123+++6，因此等差数列na是“3P数列”.nnnaaa23141()nnaa，④将③④代入②，得nnnaaa112，其中4n，所以345,,,aaa是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n，则235644aaaaa，所以23aad'，在①中，取3n，则124534aaaaa，所以122aad'，所以数列{}na是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}na为等差数列的方法：(1)用定义证明：1(nnaadd为常数）；(2)用等差中项证明：122nnnaaa；(3)通项法：na为n的一次函数；(4)前n项和法：2nSAnBn6.【2016高考新课标2理数】nS为等差数列na的前n项和，且17=128.aS，记=lgnnba，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101bbb，，；（Ⅱ）求数列nb的前1000项和．名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！【答案】（Ⅰ）10b，111b，1012b；（Ⅱ）1893.【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d，从而求得通项na，再根据已知条件x表示不超过x的最大整数，求111101bbb，，；（Ⅱ）对n分类讨论，再用分段函数表示nb，再求数列nb的前1000项和．试题解析：（Ⅰ）设{}na的公差为d，据已知有72128d，解得1.d所以{}na的通项公式为.nan111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101]2.bbb（Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.nnnbnn所以数列{}nb的前1000项和为1902900311893.考点：等差数列的的性质，前n项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2.故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，与dm－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，an≤2＝a1，所以An＝2.故Bn＝An－dn＝2－1＝1.因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一