数学高考总复习：随机变量及其分布

数学高考总复习：随机变量及其分布知识网络目标认知考试大纲要求：1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.3.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.4.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.重点：离散型随机变量及其分布列的概念，离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.难点：正确写出离散型随机变量的分布列，求出均值与方差。知识要点梳理知识点一：离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母等表示。2．离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；若是随机变量，其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。3．离散性随机变量的分布列：设离散型随机变量可能取得值为x1,x2,…,x3,…,若取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为，则称表x1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量的概率分布，简称的分布列.4．离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）pi≥0,i=1,2…；（2）P1+P2+…=1知识点二：离散型随机变量的二点分布如果随机变量X的分布列为10P称离散型随机变量服从参数为的两点分布。知识点三：离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量，如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，于是得到随机变量的概率分布如下：01…K…Np……由于恰好是二项展开式中的各项的值，所以称这样的随机变量服从二项分布，记作～，其中n,p为参数，并记若～，则，。知识点四：离散型随机变量的几何分布独立重复试验中，某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量。表示在第k次独立重复试验时该事件第一次发生，如果把第k次重复试验时事件A发生记作Ak，事件A不发生记作且那么离散型随机变量ξ的概率分布是：ξ123…k…PP(1-P)P(1-P)2P…(1-P)k-1P…称这样的随机变量服从几何分布，记作其中若随机变量服从几何分布，则，知识点五：超几何分布在含M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为：，其中，称分布列01……为超几何分布列。离散型随机变量X服从超几何分布。若随机变量X服从超几何分布，则，。知识点六：离散型随机变量的期望与方差1、离散型随机变量的期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2…xn…pp1p2…pn…则称的数学期望，简称期望，又称为平均数、均值。数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平或集中位置，若（a,b是常数），。二项分布的期望：若离散型随机变量ξ服从二项分布，即几何分布的期望：若离散型随机变量ξ服从几何分布，且2、离散型随机变量的方差：对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是x1,x2,…xn,…，且取这些值的概率分别是p1,p2,…,pn,…，那么，称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望。Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作。随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。若（a,b是常数），ξ是随机变量，则D（aξ+b）=a2Dξ。二项分布的方差：若离散型随机变量ξ服从二项分布，即几何分布的方差：若离散型随机变量ξ服从几何分布，且规律方法指导①由于理科学习了计数原理和条件概率以及相互独立事件的概率，在概率的计算上理科出题的范围非常广，要求会用计数原理和排列、组合的知识计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.高考中经常把概率的计算问题放在离散型随机变量的分布列中考查.对于离散型随机变量的均值与方差特别要注意几个基本概率模型.考查离散型随机变量的分布列以及均值与方差问题是高考中的热点问题.②求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率即必须解决好两个问题，一是求出的所有取值，二是求出取每一个值时的概率，同时按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证.③求离散型随机变量的均值（期望）和方差,重要的是能正确写出分布列.在解题时要注意判断一个实际问题是否属于二项分布，成功概率是多少，找出其他随机变量与二项分布的随机变是间的关系式，利用二项分布的均值与方差的计算公式求解.经典例题精析类型一：独立重复试验的概率1、把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率法一：用独立重复试验的概率公式把1个球放入m个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P=，这样n个球放入m个不同的盒子内相当于做n次独立重复试验，由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式知，1号盒恰有r个球的概率法二：用古典概型把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有mn个等可能的结果，其中1号盒内恰有r个球的结果数为C（m－1）n－r，故所求概率P（A）=答：1号盒恰有r个球的概率为。举一反三：【变式1】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？【答案】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次∴从低层到顶层停不少于3次的概率设从低层到顶层停次，则其概率为，∴当或时，最大，即最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．【变式2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．【答案】甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．记事件=“甲打完3局才能取胜”，记事件=“甲打完4局才能取胜”，记事件=“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为．②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为．③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为．(2)事件＝“按比赛规则甲获胜”，则，又因为事件、、彼此互斥，故答：按比赛规则甲获胜的概率为．类型二：分布列的性质2、若离散型随机变量ξ的概率分布列为：ξ01p9c2-c3-8c试求出常数c与ξ的分布列。解析：由离散型随机变量分布列的基本性质知：解得常数，从而ξ的分布列为：ξ01p总结升华：解题关键是理解随机变量分布列的两个基本性质，在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1。举一反三：【变式1】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．【答案】根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.所求的概率为P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88．【变式2】随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是_______．【答案】；由题意知：，解得，所以。类型三：离散型随机变量的分布列3、某人参加射击，击中目标的概率是。①设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列；②设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列；③若他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数的分布列。思路点拨：由已知，某人射击6次相当于6次独立重复试验，他射击6次击中目标的次数ξ满足，，因此，随机变量ξ服从二项分布；第一次击中目标时所需要射击的次数η满足，因此η服从几何分布。解析：①随机变量服从二项分布，而的取值为0,1,2,3,4,5,6，则故的分布列为：0123456P②设表示他前次未击中目标，而在第次射击时击中目标，则的取值为全体正整数1,2,3,…则的分布列为1234……P……③的取值为1,2,3,4,5,6，表示前次未击中，而第次击中，∴，；而表示前5次未击中，第6次可以击中，也可以未击中∴∴的分布列为：123456P总结升华：求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.举一反三：【变式1】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.【答案】η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析.（1）随机变量ξ取值为0，1，2P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ012P（2）随机变量η取值为0，1，2，3P(η=k)=C·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3），所以η的分布列如下，η0123PC0.83C0.82·0.2C0.8·0.22C0.23【变式2】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．【答案】（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则互斥，且，故于是．解得；（2）的可能取值为．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故，，．所以的分布列为012【变式3】某运动员射击一次所得环数的分布如下：6789100现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.(I)求该运动员两次都命中7环的概率；(II)求的分布列；【答案】(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为；(Ⅱ)的可能取值为7、8、9、10；分布列为：78910P0.040.210.390.36类型四：离散型随机变量的期望和方差4、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．解析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．故取出的4个球均为黑球的概率为．（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球，从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球，从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，且，．故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．（Ⅲ）可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，．从而．的分布列为0123的数学期望．总结升华：求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出Dξ、σξ.举一反三：【变式1】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II）任选3名下岗人员，