高考数学解三角形经典

解三角形需掌握的知识点1、两角和与差的正弦、余弦、正切2、正弦定理、余弦定理3、解三角形应用要点一、三角形中的边与角之间的关系约定：ABC的三个内角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c.1．边的关系：(1)两边之和大于第三边：abc，acb，cba；两边之差小于第三边：abc，acb，cba；(2)勾股定理：ABC中，22290abcC.2．角的关系：ABC中，ABC,222CBA=2（1）互补关系：sin()sin()sinABCCcos()cos()cosABCCtan()tan()tanABCC（2）互余关系：sinsin()cos2222ABCCcoscos()sin2222ABCCtantan()cot2222ABCC3．直角三角形中的边与角之间的关系RtABC中，90C（如图），有：ccCcbBcaA1sin,sin,sin，cos,cos,cos0baABCcc.要点二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：2sinsinsinabcRABC（R为ABC的外接圆半径）CRcBRbARasin2sin2sin22.余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.（2）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边.（3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；②已知三角形的三条边，求其三个角.(4)利用余弦定理判断三角形形状：①勾股定理是余弦定理的特殊情况，22290cos0abcCC.②在ABC中，222222cos0902bcacbaAAbc，所以A为锐角；若222acb，222abc，同理可得角B、C为锐角.当222acb，222abc，222cba都成立时，ABC为锐角三角形．③在ABC中，若222222cos0902bcacbaAAbc，所以A为钝角，则ABC是钝角三角形．同理：若222acb，则ABC是钝角三角形且B为钝角；若222abc，则ABC是钝角三角形且C为钝角．要点三、解斜三角形的类型1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解.2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC中，已知,ab和角A时，解的情况如下：(1)若A为锐角时：absinAabsinA()bsinAab()ab()无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角如图：(2)若A为直角或钝角时：abab()无解一解锐角3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解.4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解.要点诠释：1．在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能．要点四、三角形面积公式1．12aSah（ah表示a边上的高）；2．111sinsinsin222SabCacBbcA；3．22sinsinsinSRABC；4．4abcSR；5.1()()().()2Sppapbpcpabc要点五、实际问题中的常用角1.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：2.方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角.方位角的取值范围为0°～360°.如图，点B的方位角是0135。3.坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。小结反思为了在三角函数题上尽量拿高分，必须熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义、应用特点、常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法（切化弦法、降幂法、角的变换法）；掌握三角变换公式在三角形中的应用特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题，熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，并能画出函数图像；理解图像平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图像的变化，只要好好掌握这些内容，三角函数题就一定可以拿高分。注意几种常见的角的变换：(1)α=(α+β)-β=(α-β)+β；(2)2α=(α+β)+(α-β)；(3)2α=(α+β)-(β-α)；(4)2α+β=α+(α+β).一、知识点回顾一、选择题1.在△ABC中，若=13AB,BC=3，120C,则AC=（）（A）1（B）2（C）3（D）42.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若222()tan3acbBac，则角B的值为（）A．6B．π3C．6或56D．π3或2π33．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1-sinA）,则A=（A）34（B）3（C）4（D）64.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．5.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶上测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）A．320(1)m3B．320(1)m2C．20(13)mD．30m6.ΔABC中，1lglglgsinlg22acB，Ｂ为锐角，则ΔABC是（）Ａ、等腰三角形B、直角三角形C、等腰或直角三角形D、等腰直角三角形7．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，如果2b=a+c，∠B=30°，△ABC的面积为32，那么b等于（）A．132B．13C．232D．23二、填空题8．在△ABC中，若4B，2ba，则∠C=________9.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。若6cosbaCab，则tantantantanCCAB的值是________10.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A、C两点之间的距离为________千米。11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，，则∠B=．三、解答题12.设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满(a+b+c)(a-b+c)=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．13.在△ABC中，角A、B、C所过的边分别为a、b、c且1cos3A。（1）求2sin2cos22BCA的值；（2）若3a，求bc的最大值.14．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且4cos5B，b=2。（1）当53a时，求角A的度数；（2）求△ABC面积的最大值。15．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足22224cos2cosaBaBabc.（1）求角B的大小；（2）设(sin2,cos2)ACm，(3,1)n，求mn的取值范围.二、典型例题例1.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，1ABBC，则BC＝()A.3B.7C．22D.23【变式1】如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，23ABBD，BC=2BD，则sinC的值为（）A．33B．36C．63D．66【变式2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c。若223abbc，sin23sinCB，则A=（）【变式3】已知△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则ABBC的值为________例2.在ABC中，试确定满足下列条件的三角形的形状。（1）coscoscosabcABC；（2）coscosaAbB；（3）()()3abcbcabc，且sin2sincosABC.【变式1】已知△ABC中,bsinB=csinC,且CBA222sinsinsin,试判断三角形的形状．【变式2】在ABC中，已知coscoscosbBcCaA，试判断ABC的形状．例3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos2cosACcaBb.（1）求sinsinCA的值；（2）若1cos4B，b=2，求△ABC的面积S.例4.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且coscossinABCabc.（I）证明：sinsinsinABC；（II）若22265bcabc，求tanB.【变式1】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量,3mab与cos,sinnAB平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【变式2】在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAbcBcbC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC的最大值.例5.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(33)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里／小时，该救援船到达D点需要多少时间？课后复习巩固1.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，角A，B，C成等差数列。（1）求cosB（2）边A，B，C成等比数列，求sinAsinC的值。2.已知向量3sin,cossinaxxx，2cos,sincosbxxx，fxab，（1）求函数fx的单调区间；（2）当55,2412x时，对任意tR，不等式23mtmtfx恒成立，求m的取值范围。3.已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，若cossinabCcB，且ΔABC的面积为1+2，则b的最小值（）4.等腰ΔABC中，ABAC，BD为边AC上的中线，且BD=3，则ΔABC面积的最大值为（）【参考答案与解析】1.【答案】A【解析】由余弦定理得13=9+AC2+3AC,得AC=1，选A.2.【答案】D【解析】∵222cos2acbBac，结合已知等式得3costan2BB，∴3sin2B，故选D。3.【答案】C【解析】由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA=2b2（1-cosA），因为a2=2b2（1-sinA），所以cosA=sinA，因为cosA不等于0，所以tanA=1,因为A是三角形内角，所以A=4。4.【答案】B【解析】△ABC中，a、b、c成等比数列，且c=2a，则b=a，=，故选B．5.【答案】A【解析】如图所示，由已知得四边形CBMD为正方形，而CB=20m，∴BM=20m又在Rt△AMD中，DM=20m，∠ADM=