南昌大学第五届05、06级数学专业类试题及答案

第1页共13页南昌大学第五届高等数学竞赛（数学专业类2005、2006级）试卷序号：姓名：_______学院:专业：学号：考试日期：2008年9月21日题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分2110121012101213100得分注:本卷共九页,八道大题,考试时间为8:30——11:30.一、计算题(每题7分，共21分)得分评阅人1、nnnn!lim；2、求n维空间中半径为a的球体的体积，即求n维球体222221axxxn的体积；3、求11)1(limnxnxn。第2页共13页第3页共13页二、证明题（10分）设)(xfn在[a,b]上连续，,2,1n，且对每个x[a,b]，{)(xfn}有界，则[a,b]中必存在一个小区间使{)(xfn}在其上一致有界。得分评阅人第4页共13页三、证明题（12分）设集合S=}3,|{2xQxx。证明：(1)集合S没有最大数和最小数；(2)集合S在Q内没有上确界与下确界。得分评阅人第5页共13页四、证明题（10分）给定平面上的一个三角形，求证在任意方向上都存在一条直线，能将三角形分成面积相等的两部分。得分评阅人第6页共13页五、证明题（12分）设)(xf是定义在有界实数集E上的实函数，对于E中的任一收敛数列}{nx，)}({nxf也是一收敛数列，求证)(xf在E上一致连续。得分评阅人第7页共13页六、计算题（10分）假设函数)(xf在区间[a,b]可微，但不是常数，且有)()(bfaf=0，则在[a,b]中至少存在一点，使得badxxfabf)()(4|)(|2。得分评阅人第8页共13页七、证明题（12分）设,,2,1,0iainnaaaA21。已知n时，有nA，且0nnAa。求证级数1nnnxa的收敛半径为1。得分评阅人第9页共13页八、计算题（13分）计算10)1(limnxnxn南昌大学第五届高等数学竞赛（数学专业类2005、2006级）得分评阅人第10页共13页试卷答案和评分细则一、1．因为nnnn!lnlim⑵=nknnnknnnn1ln1lim)ln!ln1(lim⑸=10lnxdx=-1所以ennnn1!lim⑺2.设球体的体积为nV，则222221axxxnnVndxdxdx21令),,2,1(niaxii，即可将原积分化为单位上的积分，得)1(nnnVaV，其中)1(nV表示1a时n维球体的体积。⑵于是)1(nV=122221nxxxndxdxdx21=11ndx22122211nnxxxx121ndxdxdx⑶=)1(1nV11212)1(nnndxx(令cosnx)⑸=2)1(1nV20sindn⑹=)1(1nV)22()21(nn。由2)1(1V，可得)1(nV=)12(2nn。因此，nV)12(2nnna。⑺3．0x，xn1单调递减，且关于]1,21[x一直趋于0，1)1(nn的部分和一致有界，由狄立克莱判别法，1)1(nxnn在]1,21[一致收敛。⑸所以，11)1(limnxnxn=11)1(limnxnxn=1)1(nnn=2ln。⑺二、证明：反证，假设区间[a,b]中不存在小区间使{)(xfn}在其上一致有界，记区间[a,b]为],[00ba。则0M，存在自然数n及],[bax，使|)(xfn|M。⑷现在取1M，则存自然数1n及],[1bax，使|)(11xfn|1。由于)(1xfn在区间],[00ba连续，存在],[],[0011baba，使得],[11bax，有|)(1xfn|1。现在取2M，则存自然数12nn及],[112bax，使|)(22xfn|2。由于)(2xfn在区间第11页共13页],[11ba连续，存在],[],[1122baba，使得],[22bax，有|)(2xfn|2，...,这样可得到区间序列]},{[kkba以及自然数序列{kn}，使得：(1)],[],[11kkkkbaba，,2,1k(2)],[kkbax，kxfkn|)(|。⑻所以存在],[],[00babaxkkk，使得Nk，kxfkn|)(|0，这和条件：对每个x[a,b]，{)(xfn}有界矛盾。所以，区间[a,b]中存在小区间使{)(xfn}在其上一致有界。三、证明：(1)反证：假设Sy为最大数，则32y。显然，22y。⑵由于0)14(lim2nnn。所以当n充分大时，22314ynn。于是331412)1(2222222yynnynynyny，⑷而且QnQy1,，故Qny1。所以由上面的不等式可知：Sny1。这与Sy为最大数矛盾。所以S中没有最大数。同理，S中没有最小数。⑹(2)反证：假设S在Q中有上确界，设为y，则Qy。由上确界的定义可知：32y。⑻由(1)的证明可知：32y不成立。因此，32y。由于Qy，因此，mny，其中nm,为互质的整数。于是，322mn。223mn。可知，n为3的倍数，设Zkkn,3。于是2239mk。223km。可知，m也为3的倍数。这与nm,为互质的整数矛盾。故32y不成立，即S在Q中没有上确界。同理，S在Q中没有下确界。⑿四、证明：设三角形ABC的面积为S，设e为任一给定的方向，将三角形ABC放置于矩形OFED中，并且使eOD//。以OD所在直线为y轴，以OF所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以)(xS表示平行于y轴且在x轴上的截距为x的直线截三角形ABC左边所得到的面积。由于|||||)()(|xxODxSxS，所以)(xS为一个连续函数。⑸设),(),,(),,(ccCbbBaaA，且设bcbaccbaacba),,max(,),,max(,),,min(。则易知：SbSaS)(,0)(。由介值定理，存在],[ba，使得SS21)(。于是，过],[ba且平行于y轴的直线即为所求。⑽五、证明：反证：假设)(xf在E上不一致连续。则00，0，xx,：||xx，使得0|)()(|xfxf。现在取n1，则存在nnxx,：nxxnn1||，使得0|)()(|nnxfxf。而}{nxE为有界数列，所以存在一个收敛的子列。不妨，设)(0nxxn。则由nxxnn1||可知：)(0nxxn。⑹所以，)}({)},({nnxfxf都是收敛的数列。将数列,,,,,,,2211nnxxxxxx记为}{ny，则数列}{ny为收敛的数列，故)}({nyf为收敛的数列，但是，第12页共13页Nnyfyfnn,|)()(|0212。这和)}({nyf为收敛的数列矛盾。所以)(xf在E上一致连续。⑿六、证明：用M表示|)(|xf在[a,b]上的上确界，则M0，并且2),())(()(baxaaxMaxfxf，bxbaxbMbxfxf2),())(()(。⑵其中bxxa,。下面证明上面两个不等式的等号不能恒成立。事实上，若2),())(()(baxaaxMaxfxf，且bxbaxbMbxfxf2),())(()(。则函数)(xf在20bax的左、右导数分别为：MxxabMaxMxfxx002)(lim)(0，MxxabMxbMxfxx002)(lim)(0。由M0，可推得)(0xf不存在。这和条件矛盾。⑹因为)(xf在区间[a,b]连续，且上面的两个不等式不能恒成立，因此babaabbaabMdxxbMdxaxMdxxf2224)()()()(，即badxxfabM)()(42。⑻由确界的定义可知：在[a,b]中至少存在一点，使得badxxfabf)()(4|)(|2.⑽七、证明：设Rr,分别为级数11,nnnnnnxAxa的收敛半径。由于当n时，nA，可知当1x时，级数1nnnxa发散。故1r。⑶又0limnnnAa，所以当n充分大时，1nnAa。因此，nnnnnnnnxAxAAaxa，于是当x取值使级数1nnnxA收敛，必使级数1nnnxa也收敛。故Rr。⑹而nnnAAlim1=nnnnAaA)(lim1=nnnAA1lim+nnnAalim，⑼第13页共13页由0limnnnAa知nnnAA1lim=1，即1limnnnAA=1。此说明1R。所以1r。⑿八、解：令)(xf=1)1(nxnn)0(x。则)(xf=1)1(nxnn=01)1()1(nxnn。所以)(xf=21(1)1(nxnn+01)1()1(nxnn)=211))1(11()1(nxxnnn-21(*)⑸对于固定的0x，由dyd(xy1-xy)1(1)=1xyx+1)1(xyx=x(1)1(1xy11xy)0)1(y,可知xxnn)1(11为单调下降，且|xxnn)1(11|=|)11(11|1xxnnxn)11(11n11110(n)关于x在[0,1]上为一致收敛于0的。所以，(*)式右边关于x在[0,1]上为一致收敛，从而)(xf为[0,1]上的连续函数。⑽在(*)式中取极限，得到0limx)(xf=0limx211))1(11()1(nxxnnn-21=2101|))1(11()1(xnxxnnn-21=-21。⒀