南昌大学第六届高等数学竞赛(数学专业类06、07级)试卷试题及答案

第1页共5页南昌大学第六届高等数学竞赛（数学专业类06/07级）试卷试题及答案序号：姓名：____学院:专业：学号：考试日期：2009年10月11日题号一二三四五六七八总分累分人签名题分3010101010101010100得分一、填空题(每空3分，共30分)得分1)])(1(sin[2222)0.0(),(limyxyyxeyxxe评阅人1、1)])(1(sin[2222)0.0(),(limyxyyxeyxxe=1；2、函数||)2()(32xxxxxf不可导点的个数是2；3、dxxx2arctan=Cxxxx)1ln(21lnarctan12；4、nnnnxn)1(321的收敛区域为[2/3,4/3）；5、设)(xf是连续函数，且10)(2)(dttfxxf，则)(xf＝1x6、),(xyxyfzf具有二阶连续偏导，yxz2=2212111)(ffxyyxff；7、设0,),,(22223ttzyxRzyxDt，dVzyxftFtD)()(222,其中f可微，)(tF=4)(22tft；8、设曲线C为6222zyx与24yxz的交线，则在曲线C上点（1，1，2）的切线方程为0424062zyxzyx；9、设L为取正向的圆周922yx，则曲线积分Ldyxxdxyxy)4()22(2＝18；10、函数列)(xfn在),(ba区间一致收敛的柯西准则是0，NN，对Nn，Np，),(bax，有)()(xfxfnpn第2页共5页二、求极限nnnnnnn)()2)(1(lim得分评阅人nnnnnnn)()2)(1(lim=ninnnie1/)/1ln(lim=10)1ln(dxxe=e4三、证明函数xxxxf1sin12)(22在任何不含原点，也不以原点为端点的区间内一致连续，在（0,1）内不一致连续(1)若有限区间I内不含原点，且左右端点都不为零，由xxxxf1sin12)(22在I与其端点构成的闭区间0I上连续，所以在0I一致连续，从而在I一致连续。当I为无限区间，),(aI，),[aI或)0](,(),,(aaIaI，由于)(limxfx＝)(limxfx＝0,)(xf在]2,(a及),2[a上一致连续，故在其任一子区间上一致连续。(2)对0=1，0，2211nx，nx212：)1,0(,21xx，21xx，021211111)()(xxfxf第3页共5页四、设)(xf在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(ff，1)21(1)(lim221xxfx，试证：（1）存在)1,21(，使得)(f（2）对任意实数，必存在),0(，使得1])([)(ff（3）)(xf在[0,1]上的最大值大于1（1）由1)21(1)(lim221xxfx知1)21(f令xxfxg)()(，则0)21(g，0)1(g据零点定理知存在)1,21(，使得0)(g，即)(f.（2）令xexxfxF))(()(，则)(xF在],0[连续，在),0(可导，0)()0(FF据罗尔定理，存在),0(，使得0)(F，即1])([)(ff（3）由1)21(1)(lim221xxfx0,及极限的保号性，在x=1/2的某邻域，0)21(1)(2xxf即1)(xf，而)(xf在[0,1]上有最大值，故)(xf在[0,1]上的最大值大于1五、设0,),(2222ttyxRyxDt，)(xf在0x的某邻域内连续且,0)0(fdxdyyxftFtD)()(22，证明：（1）函数)(tF在0t的某邻域内可导；（2）,0级数)1(11nFnn收敛。（1）因为drrrfdrrrfddxdyyxftFttDt)(2)()()(02200222，且函数)(2rrf在0的某邻域内连续，所以，)(tF在0t的某邻域内可导。（2）因为2)(tF)(2ttf，所以)1(2)1(2nfnnF121)1(21lim)1(1limnnfnnnnFnnn=0|)0(|2f因此，当0时，由极限的比较判别法)1(11nFnn绝对收敛，从而级数收敛。第4页共5页六、求级数12)12(1nnnn的和112)12()(nnnnxxS1x12)(nnnxxS1x1212122)(nnxxxxS1x)1ln(12)()(2002xdxxxdxxSxSxx1xdxxdxxSxSxx)1ln()()(002=)1ln(2xxx2+)1ln(x-)1ln(x12)12()(nnnnxxG)1ln(2x+2+xx)1ln(-xx)1ln(12)12(1nnnn=)21(G=)21ln(22ln2七、设)),0([Cf，若对任意的0，dxxxf)(收敛，试证明对任意的0,0ba有abfdxxbxfaxfln)0()()(0由题设知，对任给0，下述反常积分是收敛的：dxxxfdxxaxfa)()(，dxxxfdxxbxfb)()(因此，由中值定理可得dxxxfdxxxfdxxbxfaxfba)()()()(=abfdxxxfbaln)()(，ba.abfabfdxxbxfaxfdxxbxfaxfln)0(ln)(lim)()(lim)()(000第5页共5页八、设函数)(x在[0,)上存在二阶连续的导数，若)(limxx存在，且)(x在[0,)有界，试证：0)(limxx证明：设)(limxx=aMx)(0,取定0h使得221Mh，由泰勒公式知：存在介于x与hx之间，使得2)(21)()()(hxxhx，于是有Mhaxahxhx21])()([1)(由)(limxx=a，对上述0，存在0X,当Xx时，有hax4)(，从而Mhaxahxhx21])()([1)(故0)(limxx