南昌大学第四届高等数学竞赛理工类试题及答案

第1页共14页南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题序号：姓名：学院:第考场专业：学号：考试日期：2007年9月16日题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人签名题分15156677877787100得分注:本卷共七页,十二道大题,考试时间为8:30——11:30.一、填空题(每空3分，共15分)得分评阅人1、30arctanlimln12xxxx＝.2、设S是平面2xyz被圆柱面221xy所截的有限部分,则曲面积分xdS=.3、设yyx由方程212xytxedtxy确定,则0y=.4、直线1158:121xyzL与直线26:23xyLyz的夹角为.5、设曲线弧L的方程为椭圆22143xy，其周长为a，则22234LIxyxyds.第2页共14页二、单项选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、设xf和gx在,内可导，且fxgx，则必有（）(A)fxgx.(B)fxgx.(C)00limlimxxxxfxgx.(D)00xxftdtgtdt.2、设yfx是微分方程sin24xyyye的一个解，若00,fx00fx，则函数fx在点0x()(A)取得极大值.(B)某邻域内单调增加.(C)取得极小值.(D)某邻域内单调减少.3、已知22cossinaxyyxdxxybxdy是某函数,uxy的全微分，则（）(A)2,2ab.(B)2,2ab.(C)1,1ab.(D)1,1ab.4、已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210xyz，则点P的坐标为（）(A)1,1,2.(B)1,1,2.(C)1,1,2.(D)1,1,2.5、设正项级数1ln1nna收敛,则级数111nnnnaa的敛散性为()(A)无法判断,与有关.(B)发散.(C)条件收敛.(D)绝对收敛.第3页共14页三、（本题满分6分）设f为连续函数,011axgafaxdxaa,讨论当0a时ga的极限是否存在.四、（本题满分6分）设fx为连续函数,满足方程021xxfxextftdt,求fx.得分评阅人得分评阅人第4页共14页五、（本题满分7分）求sincosxxLIeybxydxeyaxdy，其中ab、均为常数，L为从点A2,0a沿曲线22yaxx到点0,0O的一段弧.六、（本题满分7分）设xf在0,1上连续，且10fxdxA，求1101xftdtxfxdx.得分评阅人得分评阅人第5页共14页七、（本题满分8分）已知正项级数1nna收敛，试判断数列12111naaa的敛散性.八、（本题满分7分）计算曲面积分2Iydydzxdzdxzdxdy，其中是锥面22zxy被平面1z和2z所截出部分的外侧.得分评阅人得分评阅人第6页共14页九、（本题满分7分）设xyuyfxgyx，其中函数,fg具有二阶连续导数，求222uuxyxxy.十、（本题满分7分）设函数fx满足方程236xfxfxx,且由曲线yfx、直线1x与x轴围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求fx.得分评阅人得分评阅人第7页共14页十一、（本题满分8分）求级数2113nnnxn的和函数.十二、（本题满分7分）设对任意,xab，有0fx，0fx，试证2bafxdxfxba.得分评阅人得分评阅人第8页共14页南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题答案1、C.2、A.3、C.4、C.5、D.三、（本题满分6分）设f为连续函数,011axgafaxdxaa,讨论当0a时ga的极限是否存在.当0a时，则000011lim()()lim()()aaaaxxafaxdxafaxdxaaaa积分中令,ax则20001()1lim()lim(0)22aaaafxfdfaa2当0a时，则000011lim()()lim(2)()aaaaxafaxdxaxfdaaaa令3(0)2f.4（1）当00f时，ga的极限存在，（2）当00f时，ga的极限不存在6四、（本题满分6分）设fx为连续函数,满足方程021xxfxextftdt,求fx.0021xxxfxexftdttftdt1一、填空题(每空3分，共15分)1、16.2、0.3、1e.4、3.5、12a.二、选择题(每题3分，共15分)得分评阅人得分评阅人第9页共14页02xxfxeftdt2xfxefx200,02ff3求得xyxe4通解12xxxycecexe5特解1122xxxyeexe6第10页共14页五、（本题满分7分）设sincosxxLIeybxydxeyaxdy，其中ab、均为常数，L为从点A2,0a沿曲线22yaxx到点0,0O的一段弧.利用格林公式.添加从点(0,0)O沿直线0y到点(2,0)Aa的有向直线段*L,则**[sin]cossinxxxLLLIeybxydxeyaxdyeybxydxcosxeyaxdy12II.1对于1I,因为*LL为封闭曲线,由格林公式知21()();2DIbadaba3对于2I,直接计算2220()2.aIbxdxab5所以,2312(2)22IIIaba.7六、（本题满分7分）设xf在0,1上连续，且10fxdxA，求1101xftdtxfxdx.解：令1()xxftdt，则()()xfx，10(0)ftdtA.于是,原式=1100()(1)()xdxxxdx11001()(1)()()0xdxxxxdx1(1)()0xx=(0)A解法二：1101xftdtxfxdx=11100[]1xftdtdxxfxdx1=11000[]1tftdxdtxfxdx4=11001fttdtxfxdx6=10ftdt=A7得分评阅人得分评阅人第11页共14页七、（本题满分8分）已知正项级数1nna收敛，试判断数列12111naaa的敛散性.证设级数1nna的前n项的部分和nS12naaa由正项级数1nna收敛知存在0M使得nSM，112(1)(1)(1)naaa12ln(1)ln(1)ln(1)naaae3由于当0x时ln1xx，因此1212ln(1)ln(1)ln(1)nnaaaaaaee6Se又由于12111naaa是单调递增数列，7因此数列12111naaa收敛.8八、（本题满分7分）计算曲面积分2Iydydzxdzdxzdxdy，其中是锥面22zxy被平面1z和2z所截出部分的外侧.利用高斯公式.补充有向曲面1:1z下侧；有向曲面2:2z上侧.利用高斯公式,有122ydydzxdzdxzdxdy2zd2221002zdzdzrdr得分评阅人第12页共14页1524其中xyD为:222xyz.又由于112ydydzxdzdxzdxdydxdy,5222244(2)16ydydzxdzdxzdxdydxdy,6故12121515()16.22I7九、（本题满分7分）设xyuyfxgyx，其中函数,fg具有二阶连续导数，求222uuxyxxy.令,xyvwyx，则uyfvxgwuyfvgwgwxx222231uyfvgwxyx4222uxyfvgwxyyx6222uuxyxxy=07十、（本题满分7分）得分评阅人第13页共14页设函数fx满足方程236xfxfxx,且由曲线yfx、直线1x与x轴围成的平面图形D绕x轴一周所得旋转体体积最小，求fx.方程通解326ycxx2旋转体体积112232006Vydxcxxdx4=236275cc5令0,Vx7c2707V2367fxxx7十一、（本题满分8分）求级数2113nnnxn的和函数.令23xt，11nntsn1当0x时，0t，1111nntstn11111nnntttnt，1t3101ln111ntnttdtttnt52113nnnxn=2223ln133xxx，3x7当0x，2113nnnxn=08十二、（本题满分7分）第14页共14页设对任意,xab，有0fx，0fx，试证2bafxdxfxba.证()fx在[,]tab上的一阶台劳公式为21()()()()()()2!fxftftxtfxt,介于x与t之间.2因为()0,fx所以()0f.于是,有()()()().fxftftxt3不等式两边在[,]ab上对t积分,得()()()()()bbaabafxftdtftxtdt()()()()bbaabftdtxtftftdta2()()()()()baftdtxbfbxafa.4所以2()()()()()()().baftdtbafxbxfbxafa6又()0,()0,()0,0,0,fxfafbxabx所以2()()()baftdtbafx.即2()().abfxfxdxba7