南昌大学第三届高等数学竞赛数学专业类05级试题

第1页共8页南昌大学第三届高等数学竞赛（数学专业类2005级）试卷试卷编号：()卷课程名称：适用班级：姓名：学号：班级：专业：学院：系别：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分25131312121015100得分考生注意事项：1、本试卷共8页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、判断题(每题5分，共25分)得分评阅人以下命题是正确的，请给以证明；不正确的，请举例说明。1、将数列nx分成无穷多个序列：1knx，2knx，…，sknx，…。它们均收敛于同一个极限，则nx必收敛。这里stkknn，1sksnN。2、设函数fx在0x可导，则fx在0x的某个邻域内连续。3、设函数0,0,1,0.xfxx，则fx在1,1内没有原函数。4、设fx在,0aa内有定义，若对任意正数0p，有lim0xfxpfx，则limxfx存在（极限有限）。5、若函数fx满足00fxfx，则fx在0x可导。第2页共8页第3页共8页二、证明题（13分）设0nx，nN且12lim0nnnnxxx，则nx无界。得分评阅人第4页共8页三、证明题（13分）设11sinfxxx，0,x，则（i）fx在,a0a一致连续；（ii）fx在0,a0a不一致连续。得分评阅人第5页共8页四、证明题（12分）设函数fx在0,1上有二阶导数，010ff，0,1max2xfx，则存在0,1，使得16f。得分评阅人第6页共8页五、证明题（12分）设fx,x满足微分方程231xxfxxfxe。（i）若fx在xc0c处取极值，证明它必为极小值；（ii）若fx在0x处取极值，问是极大还是极小？得分评阅人第7页共8页六、证明题（10分）设fx连续，10gxfxtdt且0limxfxAx，求gx并讨论gx在0x的连续性。得分评阅人第8页共8页七、证明题（15分）设函数fx在1,1上可积，在0x处连续。设1,01,10nnnxxxxex，证明：11lim02nnnfxxdxf。得分评阅人