南昌大学第三届高等数学竞赛经济类试题

第1页共5页南昌大学第三届高等数学竞赛卷（经济类）学院：系别：专业：班级：姓名：学号：考试日期：2006年10月题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分181864100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题3分，共18分)得分评阅人1、设()nfxx，曲线()yfx在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(,0)n，则lim()nnf2、设23()(2)fxxxxx，则()fx不可导点的个数为3、已知()fx的一个原函数是2lnx，则'()xfxdx4、若连续函数()fx满足关系式220()()ln2xtfxfdt，则()fx＝5、设5()(1)xfxxe，则()fx在1x处的15阶导数(15)(1)f6、二次积分2222200()aayydyfxydx化为极坐标系下的积分式为二、选择题(每小题3分，共18分)得分评阅人第2页共5页7、设()fx、()gx是恒正的可导函数，且''()()()()0fxgxfxgx，则当axb时，有（）（A）()()()()fxgbfbgx（B）()()()()fxgafagx（C）()()()()fxgxfbgb（D）()()()()fxgxfaga8、已知()fx在0x的某个邻域内连续，且0()lim21cosxfxx，则在0x处，()fx（）（A）不可导（B）可导且'(0)0f（C）取得极大值（D）取得极小值9、设()fx是已知的连续函数，0()stItftxdx，（其中0,0ts），则积分I的值（）（A）依赖于,st（B）依赖于,,stx（C）依赖于,tx，不依赖于s（D）依赖于s，不依赖于,tx10、设在区间,ab上，()0fx，'()0fx，()0fx，记1()abSfxdx，2()()Sfbba，3()()()2fafbSba，则（）（A）123SSS（B）213SSS（C）312SSS（D）231SSS11、设(,)Fuv是变元,uv的可微函数，(,)zzxy是由方程(,)0Fxazybz所定义的隐函数，其中,ab为常数，则有（）（A）1zzabxy（B）1zzbaxy（C）1zzabxy（D）1zzbaxy12、设1nna为正项级数，则下列结论正确的是（）（A）若lim0nnna，则级数1nna收敛；（B）若存在非零常数，使得limnnna，则级数1nna发散；（C）若级数1nna收敛，则2lim0nnna；（D）若级数1nna发散，则limnnna。三、计算证明题(共64分)得分评阅人13、（6分）设()()0xgxefxx00xx其中()gx有二阶连续导数，且(0)1g，'(0)1g，求'()fx；并讨论'()fx的连续性。第3页共5页14、（6分）设21sin()xtfxdtt，求10()xfxdx。15、（10分）设()fx是周期为T（0T）的连续函数，证明：0011lim()()xTxftdtftdtxT第4页共5页16、（8分）某商品进价为a元/件，根据以往的经验，当销售价为b元/件时，销售量为c件（a、b、c为正数，且43ba）。市场调查表明，销售价每下降10％，销售量增加40％。现决定一次性降价，试问：当销售价定为多少时，可获得最大的利润，并求最大利润。17、（8分）设(,)zfxy由方程222224100xyzxyz确定，试求(,)fxy的极值。18、（8分）计算二重积分Dydxdy，其中D是由直线2x，0y和2y以及曲线22xyy所围的平面区域。第5页共5页19、（10分）求级数1211(1)[1](21)nnnxnn的收敛区间与和函数()fx。20、（8分）设()fx在[0,1]上有连续的二阶导数，(0)(1)0ff，且对0,1x，()0fx，试证：10()4()fxdxfx