南昌大学第四届高等数学竞赛

南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题一、填空题(每空3分，共15分)1、30arctanlimln12xxxx＝.2、设S是平面2xyz被圆柱面221xy所截的有限部分,则曲面积分xdS=.3、设yyx由方程212xytxedtxy确定,则0y=.4、直线1158:121xyzL与直线26:23xyLyz的夹角为.5、设曲线弧L的方程为椭圆22143xy，其周长为a，则22234LIxyxyds.二、单项选择题(每题3分，共15分)1、设xf和gx在,内可导，且fxgx，则必有（）(A)fxgx.(B)fxgx.(C)00limlimxxxxfxgx.(D)00xxftdtgtdt.2、设yfx是微分方程sin24xyyye的一个解，若00,fx00fx，则函数fx在点0x()(A)取得极大值.(B)某邻域内单调增加.(C)取得极小值(D)某邻域内单调减少.3、已知22cossinaxyyxdxxybxdy是某函数,uxy的全微分，(A)2,2ab.(B)2,2ab.(C)1,1ab.(D)1,1ab.4、已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210xyz，则点P的坐标为（）(A)1,1,2.(B)1,1,2.(C)1,1,2.(D)1,1,2.5、设正项级数1ln1nna收敛,则级数111nnnnaa的敛散性为()(A)无法判断,与有关.(B)发散.(C)条件收敛.(D)绝对收敛.三、（本题满分6分）设f为连续函数,011axgafaxdxaa,讨论当0a时ga的极限是否存在.四、（本题满分6分）设fx为连续函数,满足方程021xxfxextftdt,求fx.五、（本题满分7分）求sincosxxLIeybxydxeyaxdy，其中ab、均为常数，L为从点A2,0a沿曲线22yaxx到点0,0O的一段弧.六、（本题满分7分）设xf在0,1上连续，且10fxdxA，求1101xftdtxfxdx.七、（本题满分8分）已知正项级数1nna收敛，试判断数列12111naaa的敛散性.八、（本题满分7分）计算曲面积分2Iydydzxdzdxzdxdy，其中是锥面22zxy被平面1z和2z所截出部分的外侧.九、（本题满分7分）设xyuyfxgyx，其中函数,fg具有二阶连续导数，求222uuxyxxy.十、（本题满分7分）设函数fx满足方程236xfxfxx,且由曲线yfx、直线1x与x轴围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求fx.十一、（本题满分8分）求级数2113nnnxn的和函数.十二、（本题满分7分）设对任意,xab，有0fx，0fx，试证2bafxdxfxba南昌大学第四届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、填空题(每空3分，共15分)1、16.2、0.3、1e.4、3.5、12a.二、选择题(每题3分，共15分)1、C.2、A.3、C.4、C.5、D.三、（本题满分6分）当0a时，则000011lim()()lim()()aaaaxxafaxdxafaxdxaaaa积分中令,ax则20001()1lim()lim(0)22aaaafxfdfaa当0a时，则000011lim()()lim(2)()aaaaxafaxdxaxfdaaaa令3(0)2f.（1）当00f时，ga的极限存在，（2）当00f时，ga的极限不存在四、（本题满分6分）0021xxxfxexftdttftdt02xxfxeftdt2xfxefx00,02ff求得xyxe通解12xxxycecexe特解1122xxxyeexe五、（本题满分7分）利用格林公式.添加从点(0,0)O沿直线0y到点(2,0)Aa的有向直线段*L,则**[sin]cossinxxxLLLIeybxydxeyaxdyeybxydxcosxeyaxdy12II.对于1I,因为*LL为封闭曲线,由格林公式知21()();2DIbadaba对于2I,直接计算2220()2.aIbxdxab所以,2312(2)22IIIaba.六、（本题满分7分）解：令1()xxftdt，则()()xfx，10(0)ftdtA.于是,原式=1100()(1)()xdxxxdx11001()(1)()()0xdxxxxdx1(1)()0xx=(0)A解法二：1101xftdtxfxdx=11100[]1xftdtdxxfxdx=11000[]1tftdxdtxfxdx=11001fttdtxfxdx=10ftdt=A七、（本题满分8分）证设级数1nna的前n项的部分和nS12naaa由正项级数1nna收敛知存在0M使得nSM，12(1)(1)(1)naaa12ln(1)ln(1)ln(1)naaae由于当0x时ln1xx，因此1212ln(1)ln(1)ln(1)nnaaaaaaeeSe又由于12111naaa是单调递增数列，因此数列12111naaa收敛.八、（本题满分7分）利用高斯公式.补充有向曲面1:1z下侧；有向曲面2:2z上侧.利用高斯公式,有122ydydzxdzdxzdxdy2zd221002zdzdzrdr152其中xyD为:222xyz.又由于112ydydzxdzdxzdxdydxdy,222244(2)16ydydzxdzdxzdxdydxdy,故12121515()16.22I九、（本题满分7分）令,xyvwyx，则uyfvxgwuyfvgwgwxx222231uyfvgwxyx4222uxyfvgwxyyx6222uuxyxxy=07十、（本题满分7分）方程通解326ycxx2旋转体体积112232006Vydxcxxdx4=236275cc5令0,Vx7c2707V2367fxxx十一、（本题满分8分）令23xt，11nntsn1当0x时，0t，1111nntstn11111nnntttnt，1t3101ln111ntnttdtttnt2113nnnxn=2223ln133xxx，3x7当0x，2113nnnxn=0十二、（本题满分7分）证()fx在[,]tab上的一阶台劳公式为21()()()()()()2!fxftftxtfxt,介于x与t之间.因为()0,fx所以()0f.于是,有()()()().fxftftxt不等式两边在[,]ab上对t积分,得()()()()()bbaabafxftdtftxtdt()()()()bbaabftdtxtftftdta2()()()()()baftdtxbfbxafa.所以2()()()()()()().baftdtbafxbxfbxafa又()0,()0,()0,0,0,fxfafbxabx所以2()()()baftdtbafx.即2()().abfxfxdxba