1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则--课件

函数导数四种常见函数的导数及应用：yx1y2yx2yx1yx21yxyx12yx上述四个函数是哪类初等函数？导数有什么规律？思考nyx1nynx幂函数回顾1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第一章导数及其应用基本初等函数的导数公式1(),()fxcfx、若则2(),()nfxxfx、若则3()sin,()fxxfx、若则4()cos,()fxxfx、若则01nnxcosxsinx5(),()xfxafx、若则6(),()xfxefx、若则7()log,()xafxfx、若则8()ln,()fxxfx、若则lnxaaxe1lnxa1x常函数幂函数三角函数指数函数对数函数几个基本初等函数的导数的区别（1）注意区别与的导数的区别：)1,0(aaayx)(*Qxy)1,0(ln)(aaaaayxx).()(*1Qxxy.sin)(cos,cos)(sinxxyxxyaxysinxycos（2）与导数的区别与联系：（3）以e为底的指数函数的导数是其本身，以e的对数函数的导数是反比例函数（这有点特殊）；（5）要特别注意指数函数、对数函数的求导中，以e为底的是以为底的特例.alna（4）以为底的指数函数或对数函数的导数较为难记，要格外注意它们都有这个部分，只是对数函数的导数中在分母上；lna注意：9.(1)(2)5(3)sin(4)()2【例1】用导数公式求下列函数的导数xyxyyfxx81344(1)9(2)5ln51(3)0(4)()4答案：xyxyyyxx20652.(1)(2)log1(3)cos(4)变式练习1:求下列函数的导数yxyxyxyx1927551(1)20(2)ln62(3)sin(4)()5答案：yxyxyxyxx0002205%()(15%).0110.0【例】假设某国家在年期间的通货膨胀率为。物价（单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:其中为时的物价。假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到01）tpptpptp0'()1.05ln1.05解由导数公式：：tptp10'(10)1.05ln1.05p0.08(元/年）10.0答:在第个年头,这种商品的价格约以08元/年的速度上涨。0510变式练习2：若某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？p0'()1.05ln1.05,tptp提示：'(10)50.080.4p导数的运算法则法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:由法则2:【例3】求下列函数的导数：323(1)yxxsin2(2)yxx1(3)yx1ln(4)xyx332(1)(23)()(2)(3)32因为解：yxxxxx322332所以，函数的导数是yxxyx(2)sin22sincosyxxx(2sincos)2(sincossincos)yxxxxxx222(cossin)2cos2xxxsin22cos2所以，函数的导数是y=yxx2(1)(1)(1)(1)(3)(1)xxxxyx22(x1)2121(1)所以，函数的导数是xyyxx2(ln)(ln)()(4)xxxxyx21lnxx2ln1ln所以，函数的导数是xxyyxx322.(1)2(2)234(3)3cos4sinln(4)ln(5)(6)32变式练习3:求下列函数的导数xxxxyeyxxyxxxxyxxyyeex23(1)2661(3)3sin4cos(4)112ln(5)3(1ln3)2ln2答案：；(2)；；；；(6)xxxxyeyxxyxxyxxxyyexln2?yx如何求函数的导数呢.,22ln2ln.ln,22的函数表示为自变量可以通过中间变量即得到的复合经过和看成是由可以从而则若设xuyxxuuyxyuyxxu.2ln,,xxgfufyxguxuufyuy过程可表示为复合那么这个系记作的关和的关系记作与如果把.,3232,,22等等而成复合和由函数例如得到的复合经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都xuuyxy问题：.,'''xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数.),(,,,,xgfyctionfuncompositexguufyxyuxguufy记作的和那么称这个函数为函数的函数可以表示成如果通过变量和对于两个函数一般地复合函数.的导数的乘积对的导数与对的导数等于对即xuuyxy.2333123ln,23ln23ln,'''''xuxuuyyxxuuuyxxyxux即的导数的乘积对导数与的对的导数等于对由此可得xy表示y对x的导数.,sin3;2;3214105.02均为常数其中求下列函数的导数例xyeyxyx.3232122的复合函数和可以看作函数函数解xuuyxy'''xuxuyy''232xu.1284xu.105.02105.0的复合函数和可以看作函数函数xueyeyux由复合函数求导法则有'''xuxuyy''105.0xeu.05.005.0105.0xuee.sinsin3的复合函数和可以看作函数函数xuuyxy由复合函数求导法则有'''xuxuyy''sinxu.coscosxu变式练习4求下列函数的导数．(1)y＝ln1x；(2)y＝e3x；(3)y＝5log2(2x＋1)．解(1)函数y＝ln1x可以看成函数y＝lnu和函数u＝1x的复合函数．∴yx′＝yu′·ux′＝(lnu)′·(1x)′＝1u·(－1x2)＝－1x.(2)函数y＝e3x可以看成函数y＝eu和函数u＝3x的复合函数．∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(3x)′＝3eu＝3e3x.∴yx′＝yu′·ux′＝5(log2u)′·(2x＋1)′＝10uln2＝102x＋1ln2.(3)函数y＝5log2(2x＋1)可以看成函数y＝5log2u和函数u＝2x＋1的复合函数．21.1=______;3.cos_________;2.ln.(1)(2)1.的图象与直线相切，则已知的导数是函数求这个函数的导数；求这个函数在点处得函数切线方程xyayxyxxxxyxa练习典例讲解2.()sin12210fxxxxaxya若曲线在处得切线与直线相互垂直，求实数的值.()sincos,解：因为fxxxx()sincos12222所以f210,2又直线的斜率为aaxy1()1,2所以，根据题意得a2.解得a5.yx3.已知曲线42xy)5,0(P求曲线上与直线平行的切线的方程；求过点且与曲线相切的切线的方程．解：设切点为.),(00yx0055|.2由，得xxyxyx00024525252,,.1642因为切线与直线平行，所以所以yxxyx25252(),416168250.故所求切线的方程为即yxxyP(0,5)因为点不在曲线上5yx5(,).2故设切点为，则切线斜率为Mmnm5又因为切线的斜率为，nm5555,222,所以所以nmmmmmmm4.解得m55(0)24所以切线的方程为yx54200.即xy1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则；2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.