第四章-频域滤波

第四章频域图像增强24.1背景法国数学家JeanBaptisteJosephFourier在1807年和1822年提出傅立叶变换60年代出现快速傅立叶变换傅立叶变换域也称为频域34.2傅立叶变换傅立叶积分调谐信号：)sin()cos(tjtetj其中j2=-1傅立叶积分：dtethfHftj2)()(其中t代表时间，f代表频率4傅立叶变换的定义(一维)f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：dxexfuFuxj2)()(其反变换为：dueuFxfuxj2)()(F(u)=R(u)+jI(u)幅度谱：相位谱：)](/)(arctan[)()()()(2122uRuIuuIuRuF能量谱（谱密度）2)()(uFuP5变换分析的直观说明50511ft()t5050.50.5gt()t4202421121.2991.299ht()55t把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波之和。6一维傅立叶变换举例方波信号：经过傅立叶变换后：7一维离散傅立叶变换(DFT)1,,1,0)(1)(102MuexfMuFMxMuxj1,,1,0)()(102MxeuFxfMuMuxj一维离散傅立叶变换公式为：逆变换为：8二维傅立叶变换二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：yxvyuxjyxfvuFdd)](π2exp[),(),(逆变换：vuvyuxjyxFyxfdd)](π2exp[),(),(幅度谱：相位谱：]),(),(arctan[),(),(),(),(2122vuRvuIvuvuIvuRvuFF(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)9二维傅立叶变换举例对于二维方波信号傅立叶变换为：幅度：10二维离散傅立叶变换对于二维傅立叶变换，其离散形式为：10102),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuF逆变换为：10102),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxf幅谱(频谱)、相谱：),(),(arctan),(),(),(),(),(),(),(),(2122),(vuRvuIvuvuIvuRvuFvujIvuRevuFvuFvuj111213二维离散傅立叶变换的性质1.线性性质：),(),(),(),(22112211vuFavuFayxfayxfa2.比例性质：bvauFabbyaxf,1),(3.可分离性：),(),(),(),(),(),(1111vuFFFvuFFFyxfyxfFFyxfFFvuFuvvuxyyx14154.空间位移：NvyuxjevuFyyxxf/)(20000),(),(5.频率位移：),(),(00/)(200vvuuFeyxfNyvxuj)2,2()1)(,(NvNuFyxfyx图像中心化：当u0=v0=N/2时，166.周期性：F(u,v)=F(u+aN,v+bN),f(x,y)=f(x+aN,y+bN)7.共轭对称性：),(),(**vuFyxf8.旋转不变性：),(),(00Frf9.平均值：10102),(),(1)0,0(NxNyyxfyxfNF如果f(x,y)为实数),(),(*vuFvuF),(),(vuFvuF说明图像的谱是对称的1710.卷积定理：f(x,y)*h(x,y)=F(u,v)H(u,v)f(x,y)h(x,y)=F(u,v)*H(u,v)11.相关定理：互相关：f(x,y)Og(x,y)=F*(u,v)G(u,v)f*(x,y)g(x,y)=F(u,v)OG(u,v)自相关：f(x,y)Of(x,y)=|F(u,v)|2|f(x,y)|2=F(u,v)OF(u,v)1010),(),(1),(),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf2012.帕塞瓦定理（能量定理）：10101010*21*21),(),(),(),(NxNyNuNvvuFvuFyxfyxf若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，则有：1010101022),(),(NxNyNuNvvuFyxf信号在空域的总能量等于其频域的总能量。21频率位移性质当图像在频率域移动时需要用到频率位移性质：),(),(00/)(200vvuuFeyxfNyvxuj图像中心化把图像进行傅立叶变换后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上)2,2()1)(,()1()(/)(200NvNuFyxfeeyxyxyxjNyvxuj22周期性和共轭对称性周期性不难证明。共轭对称性：10102),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuFf*(x,y)的傅立叶变换：),(),(1),(1*1010*210102*vuFeyxfMNeyxfMNMxNyNvyMuxjMxNyNvyMuxj＋－23周期性和共轭对称性的应用1.图形的频谱分析和显示2.图像中心化102102)()1(1)(1)2(NxNuxjxNxxjNuxjexfNeexfNNuF242526平均值平均值定义：10102),(1),(NxNyyxfNyxf由傅立叶变换定义：10102),(1)0,0(NxNyyxfNF因此，f(x,y)的平均值与傅立叶变换系数的关系为：),()0,0(yxfF27卷积卷积积分：如果函数y(t)满足下列关系式)()()()()(thtxdthxty则称函数y(t)为函数x(t)和h(t)的卷积卷积积分的图解表示：x(t)th(t)t1/211128卷积积分的图解表示（续）：位移h(t1-)11x()x()h(-)1/2-1折迭h(t-)1/2t11*相乘2y(t)1t1t积分29卷积积分的步骤：1折迭：把h()相对纵轴作出其镜像2位移：把h(-)移动一个t值3相乘：将位移后的函数h(t-)乘以x()4积分：h(t-)和x()乘积曲线下的面积即为t时刻的卷积值30包含脉冲函数的卷积：即x(t)或h(t)中有一个为脉冲函数，则它们的卷积是一种最简单的卷积-T0T0h(t)*x(t)tax(t)tA-T0T0h(t)tA31卷积定理：如果x(t)和h(t)的富里叶变换分别为X(f)和H(f),则x(t)*h(t)的富里叶变换为X(f)H(f)。即)()()()(fXfHtxth卷积定理的简单推导：dtedthxftj2])()([dtetyftj2)(=ddtethxftj])()[(2=)()(fXfH==令=t-ddehexfjfj])()[(22321010),(),(1),(),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf),(),(yxyxfMNeyxMNvuFMxNyNvyMuxj1),(1),(10102),(1),(),(1),(),(1010yxhMNnymxhnmMNyxhyxfMmNn),(),(),(),(vuHvuFyxhyxf),(),(),(),(vuHyxyxhyx),(),(vuHyxh),(),(),(),(vuHvuFyxhyxf222)(uAeuH22221222)(uuBeAeuH22222)(xAexh22222212222122)(xxBeAexh3538频域滤波在傅立叶变换域，变换系数反映了图像的某些特征。频谱的低频分量对应于图像的平滑区域，而外界叠加噪声、边缘对应于频谱中频率较高的部分等。39基本步骤图像乘以yx)1(计算),(vuF图像乘以滤波器函数),(vuF),(vuH计算),(),(vuHvuF的反变换得到实数部分将结果乘以yx)1(),(),(),(vuHvuFvuG滤波后图像)],([1vuG4041基本滤波器及其性质构造一个低通滤波器，使低频分量顺利通过而有效地阻止高频分量，即可滤除频域中高频部分的噪声，再经逆变换就可以得到平滑图像。高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺利通过，而使低频分量受到削弱。陷波滤波器：使图像的均值为0。otherwise1)2/,2/(),(0),(NMvuvuH43440)0,0(F454.3频域平滑滤波器频域基本的滤波模型为•H(u,v):AFiltertransferfunction.•F(u,v):Fouriertransformoftheimage•G(u,v):Objectiveimage),(),(),(vuFvuHvuG464.3.1理想低通滤波器00),(0),(1{),(DvuDifDvuDifvuH2/122])2/()2/[(),(NvMuvuDD(u,v)isthedistancefrompoint(u,v)totheoriginofthefrequencyrectangle.ImagesizeisM*N.二维理想低通滤波器的传递函数4748在每个点(u,v)处的能量1010),(MuNvTvuPPuvTPvuP]/),([1004951ILPF的模糊和振铃现象可以用卷积定理来解释。),(),(),(vuFvuHvuG),(*),(),(yxfyxhyxginspatialdomaininfrequencydomain52534.3.2Butterworth低通滤波器阶数为n、截止频率为D0的Butterworth低通滤波器(BLPF)被定义为nDvuDvuH20]/),([11),(540),(DvuD5.0),(vuH55574.3.3Gaussian低通滤波器二维高斯低通滤波器(GLPFs)的传递函数为令,则222/),(),(vuDevuH0D2022/),(),(DvuDevuH580),(DvuD667.0),(vuH6061624.3.4低通滤波器的附加例子64高分辨率辐射计图像654.4频域锐化滤波器图像的锐化可以通过高通滤波过程实现，减弱傅立叶变换的低频成份，而不改变高频信息。是低通滤波的相反过程。),(1),(vuHvuHlphp684.4.1理想高通滤波器2-Didealhighpassfilter(IHPF)isdefinedas00),(1),(0{),(DvuDifDvuDifvuH694.4.2Butterworth高通滤波器nvuDDvuH20)],(/[11),(704.4.3Gaussian高通滤波器2022/),(1),(DvuDevuH714.4.4频域的Laplacian变换)()()(uFjudxxfdnnn),()(),()(),()(),(),(22222222vuFvuvuFjvvuFjuyyxfxyxf),()(),(222vuFvuyxf)(),(22vuvuH])2/()2/[(),(22NvMuvuH)},