幂级数-习题课

幂级数习题课一、主要内容函数项级数幂级数收敛半径R收敛域Taylor级数0)(xRnTaylor展开式１．幂级数(1)定义形如nnnxxa)(00的级数称为幂级数.,00时当xnnnxa0其中na为幂级数系数.(2)收敛性Abel定理当Rx时,幂级数绝对收敛;当Rx时,幂级数发散;当RxRx与时,幂级数可能收敛也可能发散.对1nnnxa总存在正数Ｒ使得Ｒ－－收敛半径（－Ｒ，Ｒ）－－收敛区间设nnnaa1lim(或nnnalim)(1)则当0时,1R;(2)当0时,R;(3)当时,0R.注①形如nnxa)]([的级数，求收敛域nnya的收敛半径ＲRx|)(|－－原级数的收敛点应先求出Rx|)(|－－原级数的发散点再研究Rx|)(|②用公式1limnnnaaR求收敛半径1,nnaa应是1,nnxx的系数，否则可作代换或直接利用检比法或检根法来确定③求出收敛半径后必须用常数项级数审敛法判定端点Rx处的敛散性的点的敛散性(3)幂级数的运算a.代数运算性质:21,minRRRb.和函数的分析运算性质:和函数连续，逐项微分，逐项积分收敛半径不变⑷幂级数求和函数利用几个已知的展开式，如)1(,11,sin,xxxex通过某些简单运算而求得ⅰ．化成两个幂级数的和，差，积，商ⅱ．作变量代换)(xyⅲ．求导或积分通项形如1212nxnxnn或先微后积通项形如nnxnnx21)12(或先积后微步骤：①求收敛域1)(nnnxaxs设②对1)(nnnxaxs进行运算)(xs保留所有的运算记号1nnnxa的运算结果要具体算出化成易求和的形式③再进行上述运算的逆运算得)(xs２．幂级数展开式(1)定义(2)充要条件(3)唯一性(４)展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤:;!)()1(0)(nxfann求,)(0lim)2()(MxfRnnn或讨论).(xf敛于则级数在收敛区间内收根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.b.间接法(５)常见函数展开式(６)应用欧拉公式,sincosxixeix,2cosititeet,2sinieetititxxxex11,)1(,sin,的展开式，并且要十分熟悉几何级数及函数间的微分关系２．求函数的幂级数展开式，必须相应地写出展开式成立的范围，３．对于不同类型的函数注意采用不同的展开方法和步骤有理分式－－化部分分式，利用几何级数展开反三角函数或对数函数－－先展开其导数，再逐项积分，但此时必须注意积分的下限注１．几个基本初等函数须直接展开，其它函数应尽量采用间接展开，但间接展开法必须牢记二、典型例题例１求收敛域nnnnxnbna)(21)0,0(ba解nnnxna1收敛半径aR11nnnxnb12收敛半径bR12)1,1min(baR若ba则aR1ax1原级数成为1)1(nnn由于221)()1(nabnnn收敛11nnax1原级数成为发散故收敛域为)1,1[aaba若ba则bR1nnnabn)()1(12收敛收敛收敛nnnabn)()1(1212)()1(nnnabn发散收敛bx1原级数成为nnnban)()1(1121)1(nnnnnnnnbanban)(1)()1(11banunnnnn1limlim1bannnban)()1(1绝对收敛收敛绝对收敛原级数收敛bx1原级数成为1211)(1nnnnban收敛原级数收敛故ba收敛域为]1,1[bbnnxnn121解1limnnnaaR收敛域)1,1(1例２求和函数nnxnn121111nnnnxnnx111nnnnnxxnx令111)(nnnxxs积分xnnxdxxs011)(xxx111121)1(1)(xxs11)(nnxxsnx2)1(xx)11(x求导令12)(nnnxxs求导112)(nnxxsx11积分xdxxssxs0222)()0()()1ln(x)11(x)0)0((2s故)1ln()1(1212xxxxnnnn)11(x注意先微后积，收敛域可能扩张先积后微，收敛域可能收缩例３求级数和12!)1(nnn解考虑幂级数12!)1(nnxnnR由xnnexn1!1乘以xxnnxexn11!1求导xnnexxnn)1(!)1(1再乘以xxnnexxxnn)1(!)1(11再求导xnnexxxnn)13(!)1(212ennn5!)1(12例４.)1)(1(0敛域及和函数收求级数nnxn解,1)1)(1(0Rxnnn敛半径为的收,111x收敛域为,20x即则有设此级数的和函数为),(xs.)1)(1()(0nnxnxs两边逐项积分011)1)(1()(nxnxdxxndxxs011)1(nxnx01)1(nnx)1(11xx,21xx求导，得两边再对x)21()(xxxs.)2(12x例５.1lnarctan)(2克劳林级数展开成麦将xxxxf解,32)1ln(32xxxx,)1(32)1ln(216422nxxxxxnn)11(xxdxxx0211arctan又xnndxxxxx02642])1(1[12)1(75312753nxxxxxnn)11(x0)1(202221)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故0220221)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022nnnnnx)11(x或xxxxxxf211211arctan)(22xarctandxxx0211xnnndxx002)1(01212)1(nnnnx)11(x积分xdxxfxf0)()(dxnxxnnn001212)1(022)22)(12()1(nnnnnx)11(x例６的幂级数．成的和函数展开将级数)1()!12(2)1(12111xnxnnnn解．设法用已知展开式来解的展开式，是分析xnxnnnsin)!12()1(1121)0)0((f112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x211sin2x21sin21cos221cos21sin2xx01202)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn),(0)(nnnxaxfRx||求xxfxF1)()(的幂级数展开式及其收敛半径并求)0()(nF解由于0)(nnnxaxfRx||011nnxx1||x00))(()(nnnnnxxaxFnnnkkxa)(00收敛半径为)1,min(R且nkknanF0)(!)0(例7设例8设xxfarctan)(求)0()(nf解一211)(xxf1)()1(2xfx由Leibniz公式0)]()1[()(2nxfx0)(!2)1(2)(2)()1()1()()1(2xfnnxnxfxfxnnn令0x得)0()1()0()1()1(nnfnnf由0)0(f1)0(f得0)0()2(nf)!2()1()0()12(nfnn解二211)(xxf02)1(nnnx)11(x01212)1()(nnnxnxf)11(xkkakf!)0()(故0)0()2(nf)!2()1()0()12(nfnn