一起学奥数有趣的数阵图

有趣的数阵图风子编辑教育目标观察图形，找出规律，进而发现数的规律学会适当的推理，通过观察、尝试、验证等对问题进行思考将问题简单化，找出解决问题的最佳途径教育重点观察发现图形规律，及数的规律。教育难点利用数形结合、容斥原理解决数阵图问题第一课横式数字谜例1、把1-6这六个数填在下图六个○中，使每条边上的三个数之和都等于9。【分析】左图是一个三角形形状，每条边上有三个圆圈。三角形中的六个圆圈可以分成两类。一类是两条边的公共点，另一类是独立存在的。设三条边的和相加为S，则有：S=3×9=27，即顶角的三个数被加了两次把1-6这6个数填到6个圆圈中，则圆圈中的六个数字之和设为A：A=1+2+3+4+5+6=21则顶角三个数的和为：S-A=6，而在1-6中，三个数之和为6的只有1+2+3，所以把1、2、3分别填入三个顶角。123剩下4、5、6分别填在中间的圆圈中，使直线上三个数的和为9.654小结：1、观察图形的特征；2、找出公共点及被重复使用的次数；3、通过不同方式，计算出公共点的和；4、根据数的特点确定公共点的数。例2、将1-6填在下图中的○里，使每条边上的三个数之和相等，有几个基本解？共有多少种填法？【分析】与上一题的区别在于条件变成了三个数之和相等。即受限条件减少。图形特征：三角形每边三个数，顶点三个为公共点，中间点为独立点。数字特点：1-6为连续自然数，呈等差数列。因此，需要把1-6这6个数分成两组，每组都是等差数列。即（123和456，135和246）。4组数列分别填在三个顶角，构建成的直线的和不同，所以基本解有4个。而每组三个数在三个顶点的位置又有6种方式。所以合计填法为：4×6=24种。本题可以通过确定直线最小值和最大值，计算出公共点的和，再分类讨论，剔除不合适的组。方法相对原始，但不容易漏掉。例3、把1~12这十二个数，分别填在下图中正方形四条边上的十二个○内，使每条边上四个○内数的和都等于22，试求出一个基本解。【分析】图形特征：正方形的四条边上有四个数字，四个顶角被重复使用。数的特征：四条边上的数字和都为22，边上的数字为1~1212个数字之和为：（1+12）×12÷2=784条边数字和的相加为：22×4=88重复四个角的数字和为：88-72=10因为1+2+3+4=10，所以1-4放在四个顶角。1234因为1-12是一个等差数列，确定1-4为四个顶角，且按逆时针方向排列后，可以把剩下的分成5-8，9-12两组，分别填在直线上对应的位置。56789101112最后一步的规律必须让学生领会。可以把和都为22的条件去掉做讲解例4、把1~7这七个数分别填入下图中的各个圆圈内，使每条线段上三个○内的数的和相等。【分析】图形特征：这是中心辐射型，中间圆圈重复使用三次。数字特征：1-7为七个连续自然数，呈等差数列。每条线段上的数字和没有受到制约，因此只要考虑除中间数字之外，其它6个数两两相加和相等。把1-7个数写出来：1、2、3、4、5、6、7，可以发现擦掉1、4、7（留意这三个数的位置），剩下的数首尾相加，和相等。随便挑选一组，填到左图圆圈内。1273645例5、将1~9这九个数，分别填入下图中的各个○内，使每条线段上三个○内的数的和相等。【分析】图形特征：这是中心辐射型，中间圆圈重复使用四次。数字特征：1-9为九个连续自然数，呈等差数列。与上题相比较，在图形特征与数字特征中，存在雷同性。把1-9个数写出来：1、2、3、4、5、6、7、8、9，可以发现擦掉1、5、9（留意这三个数的位置），剩下的数首尾相加，和相等。随便挑选一组，填到左图圆圈内。129384756分析例4、5，图形特征与数字特征相同的情况下，填数的方式雷同。例6、把1~11这十一个数分别填入下图中的各个○内，使每条线段上三个○内的数的和都等于22。【分析】图形特征：这是中心辐射型，中间圆圈重复使用五次。数字特征：1-11为11个连续自然数，呈等差数列。与上两题相比较，图形特征与数字特征存在雷同性，但每条线上三个数字和受限制。因此需要确定公共圆圈的值。五条线段上的数字和相加为：22×5=11011个圆圈内的数字和为：11×12÷2=66则公共圆圈的数字为：（110-66）÷（5-1）=1111剩余圆圈上的填法，与之前题目相同。对剩下的10个数首尾取数即可。11029384756观察内圈与外圈的数字，这10个数按大小分了两组，并填写规则第二讲提高篇例：将1~8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都是等于21。【分析】图形特征：两个大圆构成复合图形数字特征：中间两个为重叠数，重叠次数1次重叠数之和为：21×2-（1+2+3+…+8）=6八个数中可以使两个数之和为6的有1+5和2+4，剩下的数再平分为两组和为15的数。如果重叠数为1和5，则剩下数为2、3、4、6、7、8，因为6个数中2奇4偶，使和为15，则应该为1奇2偶，所以3、7为不同组，即为3、4、8和2、6、7。如果重叠数为2和4，则剩下数为1、3、5、6、7、8，因为6个数中4奇2偶，使和为15，则应该为1奇2偶或者3奇，1+6+8=15，而3+5+7=15。例：将1~16分别填入下图中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都是34，图中已填好八个数，请将其余的数填完。915510141178【分析】图形特征：左图中有16个圆圈，要填的数字为16个，且16个圆圈可以在大圆上组成4个扇形，4个扇形上的数字之和都为34则可以将16个数字分成4组，分别填入4个扇形。分组16个数字，可以先把16个数字按如下排列：12345678910111213141516四个扇形中所填数必定是每一行挑选一个数。（原因分析）左上角圆圈中空着的数应该在第1、2行中选，而第2行中的5、7、8已经出现过，所以为（4、6）；同理，右上为（1、12）、右下为（2、13）、左下（3、16）接着从这八个数中找出4个和为34的数的组合，放在正方形中。（1、4、13、16）、（2、4、12、16）没有条件四个数之和为34，是否可以解答本题？例：把数字1~9分别填入下图的9个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内数字之和都等于18.下图中D、E、F的三个圈中所填数之和为什么？ABCDEGHIF【分析】首先得明白这个题目只要求我们能够求出D+E+F的值，而不一定要知道每个圆圈中填的数字。根据图形特征，D、E、F处于大小三角形的重叠部分。再分析圆圈在计算过程用到的次数特点，ABC三个位置被用到2次，DEF被用到3次，GHI被用到1次。因此可以有如下计算：2（A+B+C）+3（D+E+F）+（G+H+I）=6×18=108而A+B+C+D+E+F+G+H+I=45对上面等式进行简化，则：(D+E+F)-(G+H+I)=18对1~9这9个数进行分析，最大三个数的和为：7+8+9=24；最小为：1+2+3=6两者差为18。所以D+E+F=18试试枚举法解这个题目（对枚举法也可以做初步分析）例：将1~10这十个数填入下图的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23，应怎样填？9193【分析】首先分析图形特征，我们可以把他分为两部分。每个图存在一个重叠数。设左图重叠数为a，右图为b四个正方形的数字之和为：1+9+9+3+1+2+…+10+a+b=4×23，即a+b=15，所以重叠数的组合为（10、5）、（6、9）、（7、8）以（10、5）为例，左图自左至右，可填4、8、1、3（23-19=4确定1、3），右图可以填2、7、6、9（23-5-3=15确定6、9）在把其它的集中方式天出来。共6种。知识点小结仔细审题，发现规律观察图形，寻找突破尝试填数，验证答案解答数阵图的一般步骤