2017年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版含部分选填详解)

理科数学2017年高三2017年全国丙卷理科数学理科数学考试时间：120分钟题型单选题填空题简答题总分得分一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合22,|1,,AxyxyBxyyx，则AB中元素的个数为()A.3B.2C.1D.02．设复数z满足(1+i)z=2i，则z()A.12B.22C.2D.23.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4.52xyxy的展开式中33xy的系数为()A.-80B.-40C.40D.805.已知双曲线2222:10,0xyCabab的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy有公共焦点，则C的方程为()A.221810xyB.22145xyC.22154xyD.22143xy6．设函数cos3fxx，则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为−2πB.y=f(x)的图像关于直线83x对称C.f(x+π)的一个零点为6xD.f(x)在,2单调递减7．执行右面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A.5B.4C.3D.28.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.B.34C.2D.49.等差数列na的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则na前6项的和为（）A.-24B.-3C.3D.810.已知椭圆2222:10xyCabab的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为（）A.63B.33C.23D.1311.已知函数2112xxfxxxaee有唯一零点，则a=（）A.12B.13C.12D.112.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若APABAD，则的最大值为（）A.3B.22C.5D.2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若,xy满足约束条件0200xyxyy，则34zxy的最小值为__________.14.设等比数列na满足12131,3aaaa，则4_______.a15.设函数1,02,0xxxfxx则满足112fxfx的x的取值范围是_________。16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）三、简答题（综合题）（本大题共7小题，共70分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin3cos0,27,2AAab（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.18.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．20.（12分）已知抛物线2:2Cyx，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.21.（12分）已知函数1lnfxxax.（1）若0fx，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，211111...1222nm，求m最小值.22．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2,,xtykt（t为参数），直线l2的参数方程为2xmmyk（m为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3:cossin20l，M为l3与C的交点，求M的极径.23.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围.参考答案单选题1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.B9.A10.A11.C12.A精选题目详解：8．如图所示，易知11,2OAOB，32AB，233124S，选B11．21111xxfxxaee令21gxx，则gx在,1上单调递减，在1,上单调递增；令11xxhxee，则由均值不等式得，hx在,1上单调递减，在1,上单调递增；故当0a时，fx在,1上单调递减，在1,上单调递增；1120fa102a满足题意，结合选项知选C12.建立如图所示的平面直角坐标系，则0,1,2,0ABAD，由等面积法可知，圆的半径为25，故圆的方程为2245xy故可设22cos,sin55PAPABAD12cos1,sin15512cossin2cos2355填空题13.-114.-815.(-1/4,+∞)16.②③精选题目详解：15.画出fx及12fx的图像知fx及12fx都是R上的单调递增函数，故12fxfx也是R上的单调递BOAxyPDCBAxyf(x-12)-11f(x)增函数，从图像上易判断112fxfx的解在直线部分，故令1112xx，解得14x，故112fxfx的解集为1,416.建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1CACBCD，直线a的方向向量为1,0,0CD，直线b的方向向量为0,1,0CE则cos,sin,0B，0,0,1Acos,sin,1AB当直线AB与a成60°角时，即cos1cos,cos6022ABCD2cos2则直线AB与直线b的夹角应该满足sin1cos2260设直线AB与直线a的夹角，则cos1cos0,22，所以的最小值为45，最大值为90综上正确的为②③简答题17.解：(1)sin3cos0AAtan323AA由余弦定理知222cos2bcaAbc2142824cc整理可得：22240cc4,6cc(舍去)(2)由(1)可得2222cos27abcCab3tan2tan3111sin343222ABDCADACCSADABDAB18.(1)X的所有可能取值为200,300,5002162000.290PX363000.490PX25745000.490PX故X的分布列为：X200300500P0.20.40.4(2)当200n时，2Yn当200300n时，Y的分布列为：Y8002n2n2nP0.20.40.4当300500n时，Y的分布列为：Y8002n12002n2nP0.20.40.4当500n时，Y的分布列为：Y8002n12002n20002nP0.20.40.4综上所述2,2008006,200300532002,300500514402,500nnnnEYnnnn易知，当300n时，EY最大，此时520EY19.(1)证明：设ABaABC是正三角形ABBCACa,,ABBCBDBDABDCBDABDCBD≌ADCD又ACD是直角三角形22ADDCa取AC中点M，连接,DMBM易知DMAC，且13,22DMaBMa，又BDABa222DMBMBDDMBM又ACBMMDM平面ABC又DM平面ADC平面ACD平面ABC(2)过点E作BM的垂线，垂足为F，则//EFDM，DM平面ABC，EF平面ABC13EABCABCVEFS又13DABCABCVDMS，且12EABCDABCVV12EFDMEF为DMB的中位线E为BD中点以MB为x轴，MC为y轴，MD为z轴建立空间直角坐标系，则由(1)得10,0,2Da，10,,02Aa，3,0,02Ba，10,,02Ca31,0,44Eaa31111,,,0,,,0,,042422AEaaaADaaACa平面DAE的法向量13,1,13n，平面AEC的法向量21,0,3n122373cos,7723nn二面角DAEC的余弦值为7720.(1)设直线方程为2xmy，1122,,,AxyBxy联立抛物线方程222yxxmy可得：2240ymy121224yymyy21212121222244xxmymymyymyy12120OAOBxxyy90AOB坐标原点O在圆M上(2)由(1)得：21212424xxmyym212121212416248440PAPBxxxxyyyymm1,12mm当1m时，直线方程为20xy，圆心3,1M，半径10rOM圆M的方程为223110xy当12m时，直线方程为240xy圆心91,42M，半径854rOM圆M方程为2291854216xy