4.1：简谐振动与阻尼振动

第1章质点运动学(ParticleKinematics)第2章质点和质点系动力学(DynamicsofParticleandParticleSystem)第3章刚体力学(DynamicsofRigidBody)第4章振动(Oscillations)第5章波动(Waves)第6章相对论(TheoryofRelativity)4.1简谐振动(SimpleHarmonicMotion)4.2谐振子(HarmonicOscillator)4.3阻尼振动(DampedOscillation)4.4受迫振动(ForcedOscillation)4.5同方向简谐振动的合成(CombinationofHorizontalSHMs)4.6相互垂直简谐振动的合成(CombinationofVerticalSHMs)(Oscillations)机械振动：物体在某一位置附近往复运动周期T(Period)振动一次所需要的时间4.1简谐振动(SimpleHarmonicMotion-SHM)郑殊大连理工大学物理与光电工程学院1振动——物理量在某一定值附近做往复运动；简谐振动——振动随时间按余弦（正弦）规律变化。)()(Ttxtx周期性变化振动频率v(Frequency)单位时间内振动的次数1T振动中最简单、最基本的振动——简谐振动；其它复杂的振动都可以认为是许多简谐振动的合成。A振幅(amplitude)—米；角频率(angularFrequency)—弧度/秒；初相位(initialphaseangle)—弧度。简谐振动的三个特征量:一、振动函数(Functionofoscillations)4.1简谐振动物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述。()cos()xtAt郑殊大连理工大学物理与光电工程学院2x(t)——振动质点相对平衡位置的位移1T——振动的周期2π2πT——振动的角频率简谐振动d()sin()dxtAtt222d()cos()dxatAtt简谐振动的速度和加速度也都作简谐振动郑殊大连理工大学物理与光电工程学院3二、振动的速度和加速度(Velocityandaccelerationofoscillations)4.1简谐振动()cos()xtAt()cos(2)tAt2()cos()atAttxaAA2A简谐振动曲线)0(AA()Atx绕O点以角速度逆时针旋转的矢量在x轴上的投影正好描述了一个简谐振动。()At振幅矢量t+相位三、简谐振动描述——旋转矢量法(Thephasormethod)tOx4.1简谐振动郑殊大连理工大学物理与光电工程学院4()cos()xtAt郑殊大连理工大学物理与光电工程学院54.1简谐振动旋转矢量法演示同相2Axtxtx2A反相x1A1A12()()AtAt12()()AtAt4.1简谐振动旋转矢量图表示郑殊大连理工大学物理与光电工程学院6一质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.12m,周期T=2s,当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m,此时刻质点向x正方向运动。求：1)此简谐运动的表达式；2)t=T/4时，质点的位置、速度和加速度；3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。1）由题可知简谐振动三个基本特征量：A＝0.12m,=2/T=(rad/s)由旋转矢量图可知：初位相为＝－/3可得简谐运动表达式为：(mcos()0.12cos(/3))xAtt2）在t=T/4=0.5s时质点的位置、速度和加速度分别为：(m)0.104306.06/cos12.0)3/2/cos(12.0xcos(/2)0.12cos(/2/3/2)0.060.188(m/s)At4.1简谐振动例题1解：/3郑殊大连理工大学物理与光电工程学院7xAx0=A/22222cos()0.12cos(/2/3)0.0631.03(m/s)aAt-3)解析法求解：解得：(/3)(21)2(1,2,3...)tkk()/6tk6523从起始到第一次通过原点，矢量转过的角度为：由：t可得：56,5/60.83(s)tt郑殊大连理工大学物理与光电工程学院8一质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.12m,周期T=2s,当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m,此时刻质点向x正方向运动。求：1)此简谐运动的表达式；2)t=T/4时，质点的位置、速度和加速度；3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。例题14.1简谐振动解：(mcos()0.12cos(/3))xAtt旋转矢量法求解：/3xA)3/cos(12.00t由位移公式可得：15/60.83(s)kt时，通过平衡位置时，x=0;郑殊大连理工大学物理与光电工程学院94.2谐振子(HarmonicOscillator)一、简谐振动的动力学方程(DynamicequationofSHM)()cos()xtAtFkx222ddxFmammxt222d0dxxt恢复力(Restoringforce)——合外力与位移成正比而反向2()cos()atAt根据牛顿第二定律：简谐振动的微分方程xa2这里：弹簧的倔强系数2km二、弹簧振子(Spring-bodysystem)---水平放置cos()xAt222d0dxxt比较：郑殊大连理工大学物理与光电工程学院10kmx0x4.2谐振子0dd22xmktxkxF弹性力：22ddtxmF牛顿定律：固有角频率km方程的解为简谐函数：只由系统自身的性质决定；振幅A和初相由初始条件决定。简谐振动函数二、弹簧振子(Spring-bodysystem)---水平放置郑殊大连理工大学物理与光电工程学院11kmx0x4.2谐振子cos0Ax0sinA22002Ax振幅：000tgx初相位：已知初始条件：cos()xAt角频率：系统自身的性质决定；振幅A和初相：初始条件决定。谐振子的角频率:kmmbO0k三、弹簧振子——竖直放置挂下重物m后，弹簧伸长为bmgkb在O点，合力为零，该位置为平衡位置(equilibriumposition)。物体所受的合力：mgf()Fmgkbmgkkbk()cos()tAt(恢复力）4.2谐振子郑殊大连理工大学物理与光电工程学院12Fk取平衡位置为坐标原点，向下为轴正向：当重物向下拉离时(即相对平衡位置的位移)四、单摆(SimplePendulum)1.细线质量不计3.阻力忽略不计m约定00cost摆角：l2.5以保证sin郑殊大连理工大学物理与光电工程学院134.2谐振子mgft准弹性力：sintfmgmg固有角频率gl22ddttfmamlmlt牛顿定律：22d0dxgxtl动能212kEm势能221kxEp)(sin21222tAm2mk221kAEEEpk2221Amkm（m惯性质量）五、简谐振动的能量(Energyofoscillations)kmx0x)(cos2122tkA1.弹簧振子的能量表示式郑殊大连理工大学物理与光电工程学院144.2谐振子简谐振动总能量：212EkAkm()cos()xtAttAAxkExEEpEpEEx02.弹簧振子的能量曲线随空间变化随时间变化E五、简谐振动的能量(Energyofoscillation)4.2谐振子郑殊大连理工大学物理与光电工程学院15221()sin()2KEtkAt221()cos()2PEtkAt21()2EtkAkEpEmb0Ox0k4.2谐振子例题1解：某谐振子，其倔强系数k=15.8N/m,重物质量m=0.1kg,铅直放置；t=0时弹簧伸长(相对弹簧原长)x0=0.112m,0=-0.628m/s,求：1)振动的频率、振幅和初位相；2)振动的表达式；3)振动的总能量E。1)122(Hz)2km22020A由：和已知条件：0000.05(m)mgxbxk可得：0.07(m)A4(rad/s)1000tg由和初速度为负值，知：402)()cos()0.07cos(440)(m)tAtt3)220.039(J)EkA郑殊大连理工大学物理与光电工程学院16郑殊大连理工大学物理与光电工程学院174.3阻尼振动(DampedOscillations)txfxxdd阻txkxtxmdddd22动力学方程:物体所受的阻力m2mk20(阻尼系数)(固有圆频率)令处在空气或液体中的振动系统kmx0x一、阻尼振动方程222dd20ddxxxtt阻尼振动的微分方程221kAE阻尼力使能量损失减幅振动tx00T准周期运动——振幅不断变小0()②过阻尼2202πTcos()txAet仍近似“周期”振动220阻尼很大，刚好到平衡位置能量为零，回到平衡状态郑殊大连理工大学物理与光电工程学院184.3阻尼振动222dd20ddxxxtt一、小阻尼、过阻尼和临界阻尼(underdamping,overdampingandcriticaldamping)①小阻尼0()阻尼非常大，不等接近平衡点能量已很小③临界阻尼0()周期性策动力F=F0cost系统的固有频率0，阻尼系数4.4受迫振动(ForcedOscillations)郑殊大连理工大学物理与光电工程学院19一、受迫振动方程在外来策动力(周期性的外力)作用下的振动202ddcosddxxmkxFttt动力学方程:m2mk20(阻尼系数)(固有圆频率)令00Ffm2202dd2cosddxxxfttt受迫振动的微分方程稳态解：fA02222022202tan22020ddA当时，A有极大值——共振(Resonance)！A3213200？郑殊大连理工大学物理与光电工程学院20二、受迫振动稳态解(Stablesolution)0cosxxt4.4受迫振动无论初始状态如何，最后稳态时的受迫振动与外力频率相同。02220212AfA当=0时,02Af极大速度与策动力同相，策动力总作正功，因此向系统输入的能量最大，速度振幅达到最大——共振！速度振幅dsindxAttA4321432002022tanπ2cosAt0cosFFt郑殊大连理工大学物理与光电工程学院19三、共振(Resonance)4.4受迫振动