初三动点问题经典练习

动点问题练习1.如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）．（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．1.解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分）由题意可知：ED=t，BC=8，FD=2t-4，FC=2t．∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴FDEDFCBC．∴2428ttt．解得t=4．∴当t=4时，两点同时停止运动；……（3分）（2）∵ED=t，CF=2t，∴S=S△BCE+S△BCF=12×8×4+12×2t×t=16+t2．即S=16+t2．（0≤t≤4）；………………………………………………………（6分）（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，∵EF2=222(24)51616tttt，EC2=222416tt，∴251616tt=216t．∴t=4或t=0（舍去）；②若EC=FC时，∵EC2=222416tt，FC2=4t2，∴216t=4t2．∴433t；③若EF=FC时，∵EF2=222(24)51616tttt，FC2=4t2，∴251616tt=4t2．∴t1=1683（舍去），t2=1683．∴当t的值为4，433，1683时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；………………………………………………………………………………（9分）（4）在Rt△BCF和Rt△CED中，∵∠BCD=∠CDE=90°，2BCCFCDED，ABCDEFO图2ABCDEF∴Rt△BCF∽Rt△CED．∴∠BFC=∠CED．………………………………………（10分）∵AD∥BC，∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．∵BE2=21680tt，∴21680tt=64．∴t1=1683（舍去），t2=1683．∴当t=1683时，∠BEC=∠BFC．……………………………………………（12分）2.正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtRtABMMCN△∽△；（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时RtRtABMAMN△∽△，求此时x的值．2.解：（1）在正方形ABCD中，490ABBCCDBC，°，AMMN⊥，90AMN°，90CMNAMB°，在RtABM△中，90MABAMB°，CMNMAB，RtRtABMMCN△∽△，（2）RtRtABMMCN△∽△，44ABBMxMCCNxCN，，244xxCN，222141144282102422ABCNxxySxxx梯形·，当2x时，y取最大值，最大值为10．（3）90BAMN°，要使ABMAMN△∽△，必须有AMABMNBM，DMABCNNDACDBM由（1）知AMABMNMC，BMMC，当点M运动到BC的中点时，ABMAMN△∽△，此时2x．3.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）（1）求AB的长，过点P做PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用t表示）（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？（4）若点P运动速度不变，改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值.4.（1）由题意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-t∵PQ⊥BC∴△BPQ∽△BDC∴BCBQBDBP即455tt∴920t当920t时，PQ⊥BC……………………………………………………………………3分（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M∴△BPM∽△BDC∴355PMt∴)5(53tPM……………………4分∴tS21)5(53t=815)25(103t…………………………………………5分∴当52t时，S有最大值158．……………………………………………………6分（3）①当BP=BQ时，tt5，∴25t……………………………………7分②当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，此时，BE=2521tBP∴△BQE∽△BDC∴BDBQBCBE即5425tt∴1325t……………………9分③当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F,此时，BF=221tBQ∴△BPF∽△BDC∴BDBPBCBF即5542tt∴1340t……………………11分yAOMQPBx∴14013t，252t，32513t，均使△PBQ为等腰三角形．…………………………12分4.如图，在梯形ABCD中，354245ADBCADDCABB∥，，，，∠．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（09年济南中考）（1）求BC的长。（2）当MNAB∥时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．4.解：（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形∴3KHAD．在RtABK△中，2sin454242AKAB．2cos454242BKAB在RtCDH△中，由勾股定理得，22543HC∴43310BCBKKHHC（2）如图②，过D作DGAB∥交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形∵MNAB∥∴MNDG∥∴3BGAD∴1037GC由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，．∵DGMN∥∴NMCDGC∠∠ADCBMN（图①）ADCBKH（图②）ADCBGMN又CC∠∠∴MNCGDC△∽△∴CNCMCDCG即10257tt解得，5017t（3）分三种情况讨论：①当NCMC时，如图③，即102tt∴103t②当MNNC时，如图④，过N作NEMC于E∵90CCDHCNEC∠∠，∴NECDHC△∽△∴NCECDCHC即553tt∴258t③当MNMC时，如图⑤，过M作MFCN于F点.1122FCNCt∵90CCMFCDHC∠∠，∴MFCDHC△∽△∴FCMCHCDC即1102235tt∴6017t综上所述，当103t、258t或6017t时，MNC△为等腰三角形ADCBMN（图③）（图④）ADCBMNHE（图⑤）ADCBHNMF