2017届高三数学文理通用一轮复习课件：4.6 简单的三角恒等变换

4.6简单的三角恒等变换第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养考情概览-2-考纲要求命题角度分析1.能利用两角差的余弦公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.能运用和与差的三角函数公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换是高考的热点,主要考查三角函数式的化简、求值及公式的逆用、变形.从考查形式上看,在选择题、填空题、解答题中都有所涉及,在高考中,试题为中、低档难度.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-3-知识梳理双击自测1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=;(2)cos2α===;(3)tan2α=.2.降幂公式(1)sin2α=;(2)cos2α=;(3)sinαcosα=.3.公式的变形1+sin2α=(sinα+cosα)2,1-sin2α=(sinα-cosα)2.2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α2tanα1-tan2α1-cos2α21+cos2α2sin2α2第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-4-知识梳理双击自测23411.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)1+sinα=sin𝛼2+cos𝛼22,1-sinα=sin𝛼2-cos𝛼22.()(2)cosθ=2cos2𝜃2-1=1-2sin2𝜃2.()(3)若sin𝛼2=√33,则cosα=-13.()(4)2tan15°1-tan215°=√33.()(5)y=sin2xcos2x的最大值为1.()(6)公式asinx+bcosx=√𝑎2+𝑏2sin(x+4)中4的取值与a,b的值有关.()√√×√×√第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-5-知识梳理双击自测23412.已知sinα-3cosα=0,则sin2𝛼cos2𝛼-sin2𝛼=.-34解析:sinα=3cosα⇒tanα=3,则2sinαcosαcos2α-sin2α=2tanα1-tan2α=-34.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-6-知识梳理双击自测23413.若sinπ2+𝜃=35,则cos2θ=.725解析:∵sinπ2+θ=35,∴cosθ=35.∴cos2θ=2cos2θ-1=-725.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-7-知识梳理双击自测23414.已知sinα+cosα=√33,则sin2α=.-23解析:∵sinα+cosα=√33,∴(sinα+cosα)2=13.∴2sinαcosα=-23,即sin2α=-23.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-8-考点一考点二考点三三角函数式的化简、求值问题1.(2015重庆巴蜀中学一模拟)化简cos40°cos25°1-sin40°=()A.1B.√3C.√2D.2C解析:cos40°cos25°1-sin40°=𝑐𝑜𝑠40°𝑐𝑜𝑠25°𝑐𝑜𝑠220°-2𝑠𝑖𝑛20°𝑐𝑜𝑠20°+𝑠𝑖𝑛220°=cos40°cos25°(cos20°-sin20°)=(cos20°+sin20°)(cos20°-sin20°)cos25°(cos20°-sin20°)=cos20°+sin20°cos25°=cos20°+sin20°cos(45°-20°)=cos20°+sin20°cos45°cos20°+sin45°sin20°=√2.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-9-考点一考点二考点三2.化简:𝑐𝑜𝑠2𝛼-𝑠𝑖𝑛2𝛼2𝑡𝑎𝑛𝜋4-α𝑐𝑜𝑠2𝜋4-α=.1解析:原式=cos2α-sin2α2sinπ4-αcosπ4-α·cos2π4-α=cos2α-sin2α2sinπ4-αcosπ4-α=cos2αsinπ2-2α=cos2αcos2α=1.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-10-考点一考点二考点三3.化简:(1+𝑠𝑖𝑛θ+𝑐𝑜𝑠θ)𝑠𝑖𝑛θ2-𝑐𝑜𝑠θ2√2+2𝑐𝑜𝑠θ(0θπ)=.-cosθ解析:原式=2sinθ2cosθ2+2cos2θ2sinθ2-cosθ24cos2θ2=cosθ2sin2θ2-cos2θ2cosθ2=-cosθ2·cosθcosθ2.因为0θπ,所以0θ2π2.所以cosθ20,所以原式=-cosθ.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-11-考点一考点二考点三方法总结化简、求值的主要技巧:(1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角;(2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值;(3)一些常规技巧:“1”的代换、和积互化等.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-12-考点一考点二考点三给角求值与给值求角问题例题(1)已知0βπ2απ,且cos𝛼-𝛽2=-19,sin𝛼2-𝛽=23,求cos(α+β)的值;(2)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tanβ=-17,求2α-β的值.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-13-考点一考点二考点三解:(1)∵0βπ2απ,∴-π4α2-βπ2,π4α-𝛽2π,∴cosα2-𝛽=1-sin2α2-𝛽=√53,sinα-𝛽2=1-cos2α-𝛽2=4√59,∴cosα+𝛽2=cosα-𝛽2-α2-𝛽=cosα-𝛽2cosα2-𝛽+sinα-𝛽2sinα2-𝛽=-19×√53+4√59×23=7√527,∴cos(α+β)=2cos2α+𝛽2-1=2×49×5729-1=-239729.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-14-考点一考点二考点三(2)∵tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-𝛽)+tan𝛽1-tan(α-𝛽)tan𝛽=12-171+12×17=130,又α∈(0,π),∴0απ2.∵tan2α=2tanα1-tan2α=2×131-132=340,∴02απ2.∴tan(2α-β)=tan2α-tan𝛽1+tan2αtan𝛽=34+171-34×17=1.∵tanβ=-170,∴π2βπ,-π2α-β0,∴2α-β=-3π4.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-15-考点一考点二考点三方法总结1.给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可.2.通过求所求角的某种三角函数值来求角,关键点在选取函数,常遵照以下原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数;(3)根据角的范围选取适当的三角函数第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-16-考点一考点二考点三对点练习已知α∈π2,π,sinα=√55.(1)求sinπ4+𝛼的值;(2)求cos5π6-2𝛼的值.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-17-考点一考点二考点三解:(1)因为α∈π2,π,sinα=√55,所以cosα=-1-sin2α=-2√55.故sinπ4+α=sinπ4cosα+cosπ4sinα=√22×-2√55+√22×√55=-√1010.(2)由(1)知sin2α=2sinαcosα=2×√55×-2√55=-45,cos2α=1-2sin2α=1-2×√552=35,所以cos5π6-2α=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=-√32×35+12×-45=-4+3√310.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-18-考点一考点二考点三三角变换的综合问题例题已知函数f(x)=sin3𝑥+π4.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f𝛼3=45cos𝛼+π4cos2α,求cosα-sinα的值.解:(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为-π2+2𝑘π,π2+2𝑘π,k∈Z,由-π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,得-π4+2𝑘π3≤x≤π12+2𝑘π3,k∈Z,所以,函数f(x)的单调递增区间为-π4+2𝑘π3,π12+2𝑘π3,k∈Z.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-19-考点一考点二考点三(2)由已知,有sinα+π4=45cosα+π4(cos2α-sin2α),所以,sinαcosπ4+cosαsinπ4=45cosαcosπ4−sinαsinπ4(cos2α-sin2α),即sinα+cosα=45(cosα-sinα)2·(sinα+cosα).当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=3π4+2kπ,k∈Z.此时,cosα-sinα=-√2.当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=54.由α是第二象限角,知cosα-sinα0,此时cosα-sinα=-√52.综上所述,cosα-sinα=-√2或-√52.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-20-考点一考点二考点三方法总结解决三角变换的综合问题的一般思路:(1)先化简所求三角函数式;(2)观察已知条件与所求三角函数式之间的联系(从三角函数名及角入手);(3)将已知条件代入所求三角函数式,化简求值.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-21-考点一考点二考点三对点练习(2015重庆高考)已知函数f(x)=sinπ2-𝑥sinx-√3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在π6,2π3上的单调性.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-22-考点一考点二考点三解:(1)f(x)=sinπ2-𝑥sinx-√3cos2x=cosxsinx-√32(1+cos2x)=12sin2x-√32cos2x-√32=sin2𝑥-π3−√32,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为2-√32.(2)当x∈π6,2π3时,0≤2x-π3≤π,从而当0≤2x-π3≤π2,即π6≤x≤5π12时,f(x)单调递增,当π2≤2x-π3≤π,即5π12≤x≤2π3时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在π6,5π12上单调递增;在5π12,2π3上单调递减.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养学科素养-23-思想方法满分策略化归思想和方程思想在三角变换中的应用在三角变换中,若把某一量看作未知量,三角变换中所使用的公式都可以看作方程,所以在三角变换中,经常应用方程的思想解决问题,在应用方程思想时,根据题目的条件,灵活确定方程的未知数是解题的关键.如果条件中的未知数比较多,可以应用化归的数学思想,减少未知量的个数,达到解方程需要的量.第四章4.6简单的三角恒等变换考情概览知识梳理核心考点学科素养学科素养-24-思想方法满分策略典例在锐角△ABC中,已知sin(A+B)=35,sin(A-B)=15.(1)求证:tanA=2tanB;(2)设AB=3,求AB边上的高.(1)证明:由已知条件,得sin𝐴cos𝐵+cos𝐴sin𝐵=35,sin𝐴cos𝐵-cos𝐴sin𝐵=15,解方程组得sin𝐴cos𝐵=25,cos𝐴sin𝐵=15.①②①÷②相除,得ta