2016版新课标高考数学题型全归纳 理科 PPT.第八章 立体几何第5节

第五节直线、平面垂直的判定与性质✎考纲解读1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理.（1）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.（2）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：（1）垂直于同一个平面的两条直线平行.（2）如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一平面垂直.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些关于空间图形位置关系的简单命题.✎知识点精讲一、直线与平面垂直1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直.2.判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于平面，用数学符号表示为：已知，，则3.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.二、斜线在平面内的射影从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫作斜线在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫作这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.,,mnmnB,lmln.l三、三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理如表所示.图形三垂线定理逆定理文字语言在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.符号语言PAAaaPOOAaOA于点PAAaaOAOAaPO于点【例8.32】设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）.A.B.C.D.【解析】举反例排除法.如图所示，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐵1∥平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1，平面𝐴𝐵𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1，但𝐴𝐴1∥𝐵𝐵1，故选项A错误；𝐴𝐴1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐵1⊥平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，平面𝐴𝐵𝐶𝐷∥平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，但𝐴𝐴1∥𝐵𝐵1，故选项B错误；𝐴𝐷⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐶∥平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1，平面𝐴𝐵𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1，而𝐴𝐷∥𝐵𝐶，故选项D错误.故选C.题型106证明空间中直线、平面的垂直关系,ab,ab,ab∥,,ab,∥,,ab∥,,ab∥D1DB1A1C1ABC【例8.33】如图8-99所示，在直棱柱中，垂足为，求证：【分析】直接利用三垂线定理.【解析】在直棱柱中，因为，所以在平面上的射影.又因为，，所以1111ABCDABCDACBDE1.BDAC1111ABCDABCD1AAABCD底面1ACAC是ABCDBDACBDABCD平面1.BDAC【例8.34】如图所示，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，平面𝐴1𝐵𝐶⊥侧面𝐴1𝐴𝐵𝐵1.求证：𝐴𝐵⊥𝐵𝐶.【分析】通过线面垂直，证明线线垂直.如图所示，【解析】过点A在平面𝐴1𝐴𝐵𝐵1内作A𝐷⊥𝐴1𝐵于点𝐷，连接𝐶𝐷，则由平面𝐴1𝐵𝐶⊥侧面𝐴1𝐴𝐵𝐵1，且平面𝐴1𝐵𝐶∩侧面𝐴1𝐴𝐵𝐵1=𝐴1𝐵得𝐴𝐷⊥平面𝐴1𝐵𝐶.又𝐵𝐶⊂平面𝐴1𝐵𝐶,ABCB1A1C1A1B1C1DCBA所以𝐴𝐷⊥𝐵𝐶.因为三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1是直三棱柱，故𝐴𝐴1⊥底面𝐴𝐵𝐶,所以𝐴𝐴1⊥𝐵𝐶，故𝐴𝐵⊥𝐵𝐶.又𝐴𝐴1∩𝐴𝐷=𝐴,从而𝐵𝐶⊥侧面𝐴1𝐴𝐵𝐵1，又𝐴𝐵⊂侧面𝐴1𝐴𝐵𝐵1，垂面里面作垂线，有效地将面面垂直转化成线面垂直.【评注】如图所示，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为𝑎的正方形，侧棱𝑃𝐴=𝑎,𝑃𝐵=𝑃𝐷=2𝑎,则它的五个面中，相互垂直的面有__________对.主要是利用面面垂直的判定定理【例8.40】【分析】【解析】依题意,𝑃𝐴=𝑎,𝑃𝐵=𝑃𝐷=2𝑎,底面𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为𝑎的正方形，则𝐴𝐵=𝑎,故△𝑃𝐴𝐵为直角三角形，所以𝐴𝐵⊥𝑃𝐴，DCBAP由𝐴𝐵⊥𝑃𝐴𝐴𝐵⊥𝐴𝐷𝐴𝐷∩𝑃𝐴=𝐴⇒𝐴𝐵⊥平面𝑃𝐴𝐷𝐴𝐵⊂平面𝑃𝐴𝐵⇒平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐵.同理可证：平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷,平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷,平面𝑃𝐵𝐶⊥平面𝑃𝐴𝐵，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐶𝐷，故相互垂直的面有5对.如图所示，在斜三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，∠𝐵𝐴𝐶=90∘,B𝐶1⊥𝐴𝐶,则𝐶1在底面𝐴𝐵𝐶上的射影𝐻必在().A.直线𝐴𝐵上B.直线𝐵𝐶上C.直线𝐴𝐶上D.△𝐴𝐵𝐶内部【例8.40变式题1】【解析】如图所示,𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶1，𝐴𝐵∩𝐵𝐶1=𝐵，所以𝐴𝐶⊥底面𝐴𝐵𝐶1.又𝐴𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶，所以平面𝐴𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶1.𝐶1在底面𝐴𝐵𝐶上的射影𝐻必在两个平面的交线AB上.故选A.A1C1CAB1BA1B1C1ABC【例8.41】如图8-129所示，在三棱锥中，底面，，点在棱上.求证：平面平面【分析】根据面面垂直的判定，由线面垂直面面垂直.【解析】底面，故.因为，所以，，故平面.又平面，所以平面平面OABCOCABC90ACBDOBACD.OBCOCABCOCAC90ACBACBCOCBCCACOBCACACDACD.OBC如图所示，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=1，𝐸为𝐶𝐷的中点，𝐹为线段𝐸𝐶上（端点除外）一动点.现将△𝐴𝐹𝐷沿𝐴𝐹折起，使平面𝐴𝐵𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐹，在平面𝐴𝐵𝐷内过点𝐷作𝐷𝐾⊥𝐴𝐵，𝐾为垂足.设𝐴𝐾=𝑡，则𝑡的取值范围是______.【例8.42】.EABCDFKFABCD题型107与垂直有关的开放、探索性问题【解析】易得𝐷𝑀⊥𝐴𝐹,如图所示，所以𝐴𝐾𝐴𝐷=𝐴𝐷𝐷𝐹,即𝑡1=1𝐷𝐹,与折前的图形对比，可知折前的图形中𝐷,𝑀,𝐾三点共线且𝐷𝐾⊥𝐴𝐹（如图所示），于是△𝐷𝐴𝐾∼△𝐹𝐷𝐴,所以𝑡=1𝐷𝐹,故𝑡∈(12,1).又𝐷𝐹∈(1,2),MKEDABCF过𝐾做𝐾𝑀⊥𝐴𝐹于点𝑀，连接𝐷𝑀,KDCBAFM