第十八章平行四边形知识点及练习

1ABCFEDOADCBODACBEFCDBAFEOCDBAE知识点1：平行四边形的定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（2）表示方法：平行四边形用“”表示，平行四边形ABCD记作“ABCD”，其中表示顶点的字母要按顺时针或逆时针方向排列。（3）平行四边形的基本元素：边，角，对角线。边：邻边：AB和AD，AD和DC，DC和BC，BC和AB，共有四对。对边：AB和DC，AD和BC，共有两对。角：邻角：∠BAD和∠ADC，∠ADC和∠DCB，∠DCB和∠ABC，∠DAB和∠ABC，共有四对。对角：∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC，共有两对。对角线：AC和BD，共有两条。注意：平行四边形的定义既是性质，又是判定。(1)由定义知平行四边形两组对边分别平行；（2）由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。例：如图，已知AB//DE，EF//BC，DF//AC，图中有几个平行四边形？将它们表示出了，并说明理由。知识点2：平行四边形的性质边：平行四边形的两组对边分别平行且相等。符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，AB=CD，AB//CD。角：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴（1）∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC。（2）∠ABC+∠BAD=180°，∠ABC+∠BCD=180°，∠BCD+∠ADC=180°，∠ADC+∠BAD=180°。对角线：平行四边形的对角线互相平行。符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD例1：如图所示，在平行四边形ABCD中，过AC中点O作直线，分别交AD、BC于点E、F，求证：△AOE≌△COF。例2：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，交AB于点E，BF平分∠ABC，交CD于点F。(1)求证：DE=BF(2)连接EF，写出图中所有的全等三角形。（不要求证明）例3：如图所示，□ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若△CDE2l1l2ABCDl1l2l3CABCDBAECDBAPCDBAEFNM的周长为10，则□ABCD的周长为__________.知识点3：平行线间的距离（1）平行线间的距离的定义两条平行线中，一条直线上任意一点到另一点直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。（2）平行线间的垂线段的性质①文字叙述：平行线间的距离处处相等。②数学语言：如图所示，A，C是l上任意两点。若l∥l，AB⊥l，CD⊥l，则AB=CD。拓展：三种距离之间的区别与联系两点间的距离：连接两点的线段的长度。点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度。两条平行线间的距离：两条平行线中，从一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度。联系：它们都是指某一条线段的长度。例：如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l、l、l上，且l、l之间的距离为2，l、l之间的距离为3，则AC的长是（）A.217B.25C.42D.7知识点4：平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底（即平行四边形的一条边）和该底上的高的积。（1）如图①所示，S=BCAE=CDBF。（2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等，如图②所示，□ABCD和□EBCF有公共边BC，则S=S。例1：如图所示，已知□ABCD，AB=8cm，BC=10cm，∠B=30°，求□ABCD的面积。例2：如图所示，已知P是□ABCD的对角线BD上一点，EF∥BC，MN∥AB，且EF、MN相交于点P，则图中□AEPM与□PNCF的面积关系是（）A.相等B.□AEPM的面积大C.□AEPM的面积小D.无法确定知识点5：平行四边形的判定ABDCFE3OCDBAECFEABDABCDFECDBA1、边：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义），符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符号语言：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；(3)一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，符号语言：∵AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC），∴四边形ABCD是平行四边形。2、角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形。3、对角线：（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形，符号语言：∵AO=CO，DO=BO，∴四边形ABCD是平行四边形。例1：四边形ABCD如图所示，不能判定四边形ABCD为平行四边形的选项是（）A.AB∥CD，AB=CDB.AB=CD，AD=BCC.AB=CD，AD∥BCD.AB∥CD，AD∥BC例2：如图所示，将□ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和点F，使BE=DF，求证四边形AECF是平行四边形。知识点6：三角形的中位线（1）三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。几何描述：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，则线段DE、EF、FD是△ABC的三条中位线。（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。几何描述：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，则线段DE、EF、FD是△ABC的三条中位线，故DF∥BC，DF=BC；DE∥AC，DE=AC；EF∥BA，EF=BA。（3）三角形中位线定理的作用：①证位置关系：可以证明两条直线平行；②证数量关系：可以证明线段的线段或倍分关系。例：如图所示，□ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为__________.能力点1：运用平行四边形的性质计算4CDBAQPCDBAEFECDBAFBACDEEADCBF例：如图所示，四边形ABCD为平行四边形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周长为40，且AB-BC=2，求□ABCD各内角的度数和各边的长。能力点2：运用平行四边形的性质证明例1：如图所示，在□ABCD中，AE∥CF，AE与BD相交于点P，CF与BD相交于点Q，求证：BP=DQ。例2：如图所示，在□ABCD中，点E是AB的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F。（1）求证：△ADE≌△BFE（2）若DF平分∠ADC，连接CE，试判断CE与DF的位置关系，并说明理由。能力点3：平行四边形性质的综合运用例：如图所示，在□ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE.（1）求证：△ABC≌△EAD（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数。能力点4：平行四边形的判定和性质的综合应用5EADCBFGMACBDNDCBAQPFADCBMNOABDCE例：在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。（1）如图所示，证明CE=CF（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点，连接DG（如图2），直接写出∠BDG的度数。能力点5：构造平行四边形解决问题掌握构造平行四边形的两种基本方法：一是作平行线构造平行四边形；二是延长经过中点的某条线段，再顺次连接线段的端点。例1：如图所示，已知CD是△ABC的中线，CN=MN，求证：AM=CB。例2：如图所示，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=2∠ABC，求证：AB=AD+CD.能力6：三角形的中位线问题由三角形的中位线定理，可直接得到边边之间的数量关系及位置关系。在有中点条件时，可考虑利用中位线或构造中位线解决问题。例1：如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点F，M、N分别为AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点P、Q，且∠FPQ=∠FQP。若BD=10，求线段AC的长。例2：如图所示，已知AO是△ABC中∠BAC的平分线，BD⊥AO的延长线于D，E是BC的中点。求证：DE=（AB-AC）。6ADCBPQOABCDEBCDAABCDEGF能力点7：平行四边形探究性问题平行四边形的探究问题形式多样，要根据题目条件特征及具体的问题来选用判定方法及性质来综合解决问题。例：如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=1cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以cm/s的速度由点C向点B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？18.2.1矩形知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。用符号语言表示：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形。例：已知在四边形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为矩形，加上的条件可以是_____________.知识点2：矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它除了具备平行四边形的所有性质外，还有以下性质：（1）矩形的四个角都是直角。（2）矩形的对角线相等。（3）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是过两组对边中点的直线。例：如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）A.cmB.2cmC.2cmD.4cm知识点3：矩形的判定判定定理1（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形。判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。判定定理3：有三个角是直角的四边形是矩形。例：如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形。知识点4：直角三角形斜边上的中线的性质（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（2）斜边上中线性质的逆命题也是真命题，即如图三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。7OABCDOABCDEFABCDEABCDEFHABCDOPEF例：如图所示，BD，CE是△ABC的高，G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE。能力点1：矩形性质的应用根据矩形的性质、等腰三角形的性质等，经过简单的计算、推理，求线段长及角的度数或是证明线段（或角）相等。例1：如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC=6cm，∠BOC=120°，求：（1）∠ACB的度数；（2）AB、BC的长。例2：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数。例3：如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，EF⊥AE，交BC于点F。求证：AE=EF。能力点2：直角三角形斜边上的中线的性质应用根据直角三角形斜边上的中线的性质，快速找到两条线段间的数量关系，为进一步的证明找到切入点。例：如图所示，延长矩形的边CB至点E，使CE=CA，点F为AE的中点，求证：BF⊥FD。能力点3：矩形中的折叠问题例：如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°。（1）求BE，QF的长；8HFADCBEGEFOMNBDAC（2）求四边形PEFH的面积。能力点4：矩形的判定的应用根据题目中所给的条件的不同，灵活地选用矩形的判定方法进行证明。在动态问题中，要能判断出隐含的不变的数量关系或位置关系来。例1：已知：如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形。例2：如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC。设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F。（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由。18.2.2菱形知识点1：菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。例：如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，