投资学第五讲风险与收益

投资组合的风险与收益MeanandVarianceAnalysis投资学第五讲课程脉络确定性的现金流定价：时间的维度随机现金流定价：风险的维度Chapters5，14-16Chapters6-13CourseOverview随机现金流定价：风险的维度Topics:•Mean/VarianceAnalysis•PortfolioSelection•CAPM•DataandStatistics•ArbitragePricingTheory•EMH基本的想法用随机变量来刻画随机现金流，借助概率论来研究随机性。MeanandVarianceAnalysis：用均值表示收益，用方差（标准差）表示风险金融资产随机现金流收益性风险性流动性Mean-VarianceAnalysisBasicProbabilityRiskaversionPortfolioMeanandVarianceSingleSecurities单个证券的收益与风险t00tppdrHPRp资本利得股息收入1证券的持有期回报Holding-periodreturn：给定期限内的收益率。其中，p0表示当前的价格，pt表示未来t时刻的价格。ReturnsonHPandS&P500March2001–March2006?R1=50%R2=-20%1-p=0.4E(R)=pR1+(1-p)R2=0.6(50%)+0.4(-20%)=22%s2=E[(R-E(R))2]=p[R1-E(R)]2+(1-p)[R2-E(R)]2=0.6(50-22)2+0.4(-20-22)2=1,176s34.293%RiskyOutcomes掷骰子RollofadieX=1234561/61/61/61/61/61/6w/prob.x1/61/61/61/61/61/6123456(3)PX正态分布TheNormalDistribution2预期回报（Expectedreturn）。由于未来证券价格和股息收入的不确定性，很难确定最终总持有期收益率，故需要量化证券所有的可能情况，从而得到其概率分布，并求得其期望回报。()()()()()(())ssErpsrspsrspsrss其中，为各种情形概率，为各种情形下的总收益率，各种情形的或集合为3证券的风险（Risk）金融学上的风险表示收益的可预计的不确定性。（注意：风险与损失的意义不同）。即各种可能情况下的收益，对预期收益（均值）的偏离程度，因此方差（标准差）是最好的工具。22[(())]ErErs＝2()[()()]spsrsEr例：投资于某股票，初始价格100元，持有期1年，现金红利为4元，股票价格由如下三种可能，求其HPR期望收益率和方差。经济状况出现概率期末价格繁荣0.25140元正常0.50110元衰退0.2580元HPR(%)4414-164风险溢价（RiskPremium）–预期收益超过无风险证券收益的部分，为投资的风险提供补偿。–无风险（Risk-free）证券：其收益确定，故方差为零。一般以短期国债或者货币市场基金作为其替代品。–上例中股票的预期回报率为14％，若无风险收益率为8％。初始投资100元于股票，风险溢价为6元，作为承担风险（标准差为21.2）的补偿。对均值与方差的分析均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。三阶矩差(包括其他奇数矩差：M5，M7等)表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况。所有偶数矩差(方差，M4等)都表明有极端值的可能性。这些矩差的值越大，不确定性越强。均值－方差在描述金融资产时有一定的局限性：如果两个风险资产的均值和方差都相同，也会出现收益率的概率分布不同。萨缪尔森Samuelson有两个重要结论：1、所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择。2、方差与均值对投资者的效用同等重要。主要假设是股票收益分布具有紧凑性Compactness：股票价格具有连续性。如果投资者能够及时调整，控制风险，资产组合收益率的分布就是紧凑的。1970年诺贝尔经济奖的萨缪尔森(PaulA.Samuleson,1915～2009)《经济分析基础》Mean-VarianceAnalysisBasicProbabilityRiskaversionPortfolioMeanandVarianceSingleSecurities风险与收益的权衡、风险厌恶（Riskaversion）如果证券A可以按50％的概率获得20％的收益，50％的概率的收益为0，而证券B可以无风险的获得回报率为10％，你将选择哪一种证券？R1=20%R2=01-p=0.5E(R)=10%证券A证券BR=10%Whichwillyouchoose?E(R)=10%对于一个风险规避的投资者，虽然证券A的期望收益为10％，但它具有风险，而证券B的收益是无风险的10％，显然证券B优于证券A。均值方差标准Mean-variancecriterion若投资者是风险厌恶的，则对于证券A和证券B，如果22ABss()()ABErEr同时至少有一个不相等，该投资者认为“A占优于B”1234期望回报方差或者标准差2占优1;2占优于3;4占优于3;占优原则（DominancePrinciple）夏普比率准则Sharperate对于风险和收益各不相同的证券，均方准则可能无法判定，可以采用夏普比率()ErCVs＝它表示单位风险下获得收益，其值越大则越具有投资价值。现有A、B、C三种证券投资可供选择，它们的期望收益率分别为12.5%、25%、10.8%，标准差分别为6.31%、19.52%、5.05%，用夏普比率对这三种证券如何排序？从风险厌恶型投资来看，收益带给他正的效用，而风险带给他负的效用，或者理解为一种负效用的商品。根据无差异曲线，若给一个消费者更多的负效用商品，且要保证他的效用不变，则只有增加正效用的商品。风险厌恶型投资者的无差异曲线（IndifferenceCurves）ExpectedReturnStandardDeviationP2431IncreasingUtility不同理性投资者具有不同风险厌恶程度由无差异曲线族的陡峭程度来反映。无差异曲线越陡峭，投资者越厌恶风险。图a代表的投资者与图b代表的投资者相比，风险水平增加相同幅度,图a代表的投资者要求收益率的补偿要远远高于图b所代表的投资者。因此，图a对应的投资者更加厌恶风险。效用函数（Utilityfunction）假定一个风险规避者有如下形式的效用函数2()0.005UErAs–其中，A为投资者风险规避的程度。–若A越大，表示投资者越害怕风险，在同等风险的情况下，越需要更多的收益补偿。–若A不变，则当方差越大，效用越低。StandardDeviation回报标准差2确定性等价收益率Certainlyequivalentrate排除风险因素后，风险资产能提供的等价的无风险收益率，称为风险资产的确定性等价收益率。风险资产的U就是确定性等价收益率；由于无风险资产的方差为零，因此其效用U就等价于无风险回报率。某风险资产，E(r)=22%,StandDeviation=34%,无风险收益率为5％。如果A＝3它等价于收益（效用）为4.66％的无风险资产()4.66%fUEr对于风险厌恶者，只有当风险资产的确定性等价收益至少不小于无风险资产的收益时，才愿意投资22()0.005220.0053344.66UErAs如果A＝2，确定性等价收益为多少？10.44%Riskneutral风险中性投资者的无差异曲线风险中性型的投资者对风险无所谓，只关心投资收益。ExpectedReturnStandardDeviationRisklover风险偏好投资者的无差异曲线ExpectedReturnStandardDeviation风险偏好型将风险作为正效用的商品看待。2()0.005UErAs从效用函数：的角度来看，风险中性者就是A＝0，效用函数为U＝E（r）；风险偏好者就是使A0。Mean-VarianceAnalysisBasicProbabilityRiskaversionPortfolioMeanandVarianceSingleSecurities资产组合的收益与风险一个岛国有两家上市公司，一家为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国每天下雨还是放晴的概率各为0.5。两家公司在不同天气下的收益分别如下，请问你的投资策略。防晒品公司雨具公司下雨放晴0%20%20%0%假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组合的投资收益为1111nnpiiiiiiniiErEwrwErw（）＝（）其中投资组合的收益121211()2211()()221110%10%2210%pErErrErEr1211()()22?pVarrVarrr投资组合的风险（方差）2121212()[(()())]VarXXEXXXX1122222XXXXsss21122[(()())]EXXXX2211112222[()2()()()]EXXXXXXXX2211112222[()]2[()()][()]EXXEXXXXEXXiiijijiijVaraXaasMoregenerally:11nnpiiiiiiErEwrwEr（）＝（）1122334411223344()()()()pErEaaaaaEaEaEaE（rrrr）=rrrr123412131421232431323441112233442222222212341213142123243132344142()pVarrVaraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaasssssssssssssssrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr（rrrr）=414143aasrrriiijijiijVaraXaasr1r2r3r4r1r2r3r412s24s23s22s12s13s14s21s24s23s31s32s41s34s43s42siiijijiijVaraXaas22111cov(,)nnniiijijijijaaarrs22211111cov(,)nnniijijijrrnns222(1)nnnnsscov(,)ijijijrrss22(1)nnnss11221211222212222()22XXXXXXXXXXVarXXsssssss1212XXXXsss121212sss组合可以使风险变小！121122()XXss1122222XXXXssss1122222XXXXssss1211()()22pVarrVarrr1122221(2)4rrrrssss1(0.0120.10.10.01)4＝0资产组合Portfolio的优点对冲（Hedging），也称为套期保值。投资于收益负相关资产，使之相互抵消风险的作用。分散化（Diversification）：通过持有多个风险资产，就能降低风险。组合使投资者选择余地扩大。分散化的好处投资组合可以通过分散化减少方差，而不会牺牲收益有n个独立的资产都有相同的均值和方差22(,)(,)iirrss组合的均值和方差是多少？121...n111nnpiiiirwrrrn222222111nnPiiiiwnnssssVarianceisreducedbyafactorofn.例如有A、B两种股票，每种股票的涨或跌的概率都为50%，若只买其中一种，则就只有两种可能，但是若买两种就形成