第一章导数及其应用小结与复习(2)

第一章导数及其应用小结与复习（第二课时）知识体系网络函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)，相应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．1.导数的几何意义例1：已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解:(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得，x30＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1，解之得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1，∴x0＝1y0＝－14或x0＝－1，y0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.应用导数求函数的单调区间的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)解不等式f′(x)0或f′(x)0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结．2.利用导数研究函数的单调区间例2：设函数f(x)＝1xlnx(x＞0，且x≠1)．求函数f(x)的单调区间．解：f′(x)＝－lnx＋1x2ln2x.令f′(x)＝0，则x＝1e；令f′(x)＞0，则0＜x＜1e；令f′(x)＜0，则1e＜x＜1或x＞1.故函数f(x)的单调递增区间是(0，1e)；单调递减区间是(1e，1)和(1，＋∞)．1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点．3.利用导数研究函数的极值和最值2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地:①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．例3：已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx，在区间(－2,1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．解：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.又x＝－1，x＝23分别对应函数取得极小值、极大值，所以－1，23为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．所以23a＝－1＋23，－b3＝(－1)×23.于是a＝－12，b＝2，则f(x)＝－x3－12x2＋2x.x＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上．又切线斜率为：k＝f′(x)＝－3x2－x＋2，f′(－2)＝－8，所求切线方程为：y－2＝－8(x＋2)，即为8x＋y＋14＝0.(2)x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，23)23(23，1)1f′(x)－0＋0－f(x)2↘－32↗2227↘12则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－32.利用导数研究某些函数的单调性与最值，可以解决一些不等式证明及不等式恒成立问题，如利用“f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a”和“f(x)＞a⇔f(x)min＞a”的思想解题．4.利用导数解不等式恒成立问题例4：设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2处取得极值．(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围．解：(1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b.因为函数f(x)在x＝1及x＝2处取得极值，所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，即6＋6a＋3b＝024＋12a＋3b＝0.解得a＝－3，b＝4.(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1,2)时，f′(x)0；当x∈(2,3)时，f′(x)0.所以当x＝1时，f(x)取极大值，f(1)＝5＋8c.又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立，所以9＋8cc2，解得c－1或c9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．5.导数在实际中的应用问题例5：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)；成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)．又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)．∵x＞0，∴P′(x)＝0时，x＝12.∴当0＜x＜12时，P′(x)＞0；当x＞12时，P′(x)＜0，∴x＝12时，P(x)有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305(x∈N*，且1≤x≤19)．所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，所以，单调减区间为[1,19]，且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与前一艘利润比较，利润在减少．